А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий. Игровые задачи сближения для квазилинейных систем общего вида ... С. 273-287

УДК 517.977

MSC: 49N70, 91A25, 49N90, 91A23

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-273-287

Рассматривается конфликто-управляемый процесс сближении траектории с цилиндрическим терминальным множеством. Предлагаемая формализация охватывает широкий круг квазилинейных функционально-дифференциальных систем. С использованием техники многозначных отображений и их селекторов получены достаточные условия завершения игры за конечное время. Идейно методика близка к схеме, связанной со временем первого поглощения. В качестве иллюстрации исследуются квазилинейные интегро-дифференциальные игры. Получено представление решения в виде аналога формулы Коши. Конкретные вычисления проведены для системы с простой матрицей. В качестве областей управления игроков выступают шары с центром в нуле, а терминальное множество - линейное подпространство. В зависимости от соотношений между начальным состоянием и параметрами процесса получены условия окончания игры. В одном из случаев найден явный вид гарантированного времени.

Ключевые слова: конфликтно-управлямый процесс, селектор многозначного отображения, интеграл Ауманна, опорная функция, интегро-дифференциальное уравнение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры // Автоматика и телемеханика. 1968. №1. C. 65–78.

4. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

5. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

6. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 456 с.

7. Chentsov A.G., Morina S.J. Extensions and relaxations. Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. 408 p. doi: 10.1007/978-94-017-1527-0 .

8. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М.: Наука, 1988, Т. 2. 576 с.

9. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. T. 184, № 2. С. 285–287.

10. Hajek O. Pursuit games. N Y: Acad. Press, 1975. T. 12. 266 p.

11. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Boston; London; Dordrecht: Springer Science and Busines Media, 2013. 424 p. ISBN: 9401711364 .

12. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.

13. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Basel; Berlin: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1990. 461 p. ISBN: 0817634789 .

14. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512 с.

15. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

16. Михлин С.Т. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 304 с.

17. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. T. 4, ч. 1. 236 с.

Поступила 4.10.2017

Чикрий Аркадий Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. НАН Украины
зав. отделом
Инcтитут кибернетики имени В.М. Глушкова НАН У, г. Киев
e-mail:chik@d165.icyb.kiev.ua

Чикрий Грета Цолаковна д-р физ.-мат. наук,
вед. научный сотрудник
Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН У, г. Киев
e-mail:g.chikrii@gmail.com

English

A.A. Chikrii, G.Ts. Chikrii. Game problems of approach for quasilinear systems of general form.

We study a conflict-controlled process of the approach of a trajectory to a cylindrical terminal set. The problem statement encompasses a wide range of quasilinear functional–differential systems.We use the technique of set-valued mappings and their selections to derive sufficient conditions for the game termination in a finite time. The methodology used is close to the scheme that involves the time of the first absorption. By way of illustration, quasilinear integro-differential games are examined. For this purpose, their solutions are presented in the form of an analog of the Cauchy formula. The calculations are performed for the case of a system with a simple matrix; the control sets of the players are balls centered at the origin and the terminal set is a linear subspace. Depending on the relations between the initial state of the system and the parameters of the process, sufficient conditions for the game termination are derived. An explicit form of the guaranteed time is found in one specific case.

Keywords: conflict-controlled process, selection of a set-valued mapping, Aumann’s integral, support function, integro-differential equation.

The paper was received by the Editorial Office on October 4, 2017.

Arkadii Alekseevich Chikrii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of National Academy
of Sciences of Ukraine, Glushkov Cybernetics Institute of NASU, Kiev, 03187 Ukraine,
e-mail:chik@d165.icyb.kiev.ua .

Greta Tsolakovna Chikrii, Dr. Phys.-Math. Sci., Senior Scientific Researcher, Glushkov Cybernetics
Institute of NASU, Kiev, 03187 Ukraine, e-mail:g.chikrii@gmail.com.