А.Г. Ченцов. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем ... С. 257-272

УДК 519.6

MSC: 54A09, 54A10, 54B05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-257-272

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 18-01-00410).

Исследуются вопросы структуры пространств ультрафильтров и максимальных сцепленных систем. Рассматривается широко понимаемое измеримое пространство: фиксируются непустое семейство подмножеств заданного множества -"единицы", замкнутое относительно конечных пересечений и содержащее данную "единицу", а также пустое множество ($\pi$-система с "нулем" и "единицей"). На данном пространстве конструируются ультрафильтры (максимальные фильтры) и максимальные сцепленные системы. Возникающие при этом пространства оснащаются каждое парой сравнимых топологий. Получающиеся при этом битопологические пространства оказываются согласованными в следующем смысле: пространство ультрафильтров является всякий раз подпространством соответствующего пространства максимальных сцепленных систем. При этом пространство максимальных сцепленных систем с топологией волмэновского типа суперкомпактно и, в частности, компактно. Возможными вариантами $\pi$-системы являются решетки, полуалгебры и алгебры множеств, топологии и семейства замкнутых множеств топологических пространств.

Ключевые слова: максимальная сцепленная система, топологическое пространство, ультрафильтр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ченцов А. Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27, вып. 3. C. 365–388. doi: 10.20537/vm170307 .

2. Ченцов А. Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2017. Т. 49. С. 55–79. doi: 10.20537/2226-3594-2017-49-03 .

3. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 100–121. doi: 10.15826/umj.2017.2.012 .

4. de Groot. J. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89–90.

5. Mill J. van. Supercompactness and Wallman spaces. Amsterdam, 1977. 238 p. (Amsterdam. Math. Center Tract; vol. 85).

6. Strok M., Szymanski A. Compact metric spaces have binary subbases // Fund. Math. 1975. vol. 89, no. 1. P. 81–91. doi: 10.4064/fm-89-1-81-91 .

7. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М: Физматлит, 2006. 336 с.

8. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 с.

9. Dvalishvili B.P. Bitopological spaces: theory, relations with generalized algebraic structures, and applications. Amsterdam; Boston; Heidelberg; London, N Y: Elsevier, 2005. 422 p. (Ser. Nort-Holland Mathematics Studies; vol. 199.) ISBN: 9780444517937 .

10. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения N // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. C. 10–17. doi: 10.20537/vm100302 .

11. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. C. 11–16. doi: 10.20537/vm130102 .

12. Головастов Р.А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 19–24. doi: 10.20537/vm120303 .

13. Ченцов А. Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87–101. doi: 10.20537/vm140108 .

14. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

15. Ченцов А. Г. К вопросу о соблюдении ограничений в классе обобщенных элементов // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 3. C. 90–109. doi: 10.20537/vm140309 .

16. Ченцов А. Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. T. 17, № 1. C. 268–293.

17. Ченцов А. Г., Пыткеев Е. Г. Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. T. 20, №4. C. 312–329.

18. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 с.

Поступила 11.01.2018

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

English

A.G. Chentsov. Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems.

Issues of the structure of spaces of ultrafilters and maximal linked systems are studied. We consider a widely understood measurable space (a $\pi$-system with zero and one) defined as follows: we fix a nonempty family of subsets of a given set closed under finite intersections and containing the set itself ("one") and the nonempty set ("zero"). Ultrafilters (maximal filters) and maximal linked systems are constructed on this space. Each of the obtained spaces is equipped with a pair of comparable topologies. The resulting bitopological spaces turn out to be consistent in the following sense: each space of ultrafilters is a subspace of the corresponding space of maximal linked systems. Moreover, the space of maximal linked systems with Wallman-type topology is supercompact and, in particular, compact. Possible variants of the $\pi$-systems are lattices, semialgebras and algebras of sets, topologies, and families of closed sets of topological spaces.

Keywords: maximal linked system, topological space, ultrafilter.

The paper was received by the Editorial Office on January 11, 2018.

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii
Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: chentsov@imm.uran.ru .