С.В. Чистяков. Об уравнениях метода программных итераций ... С. 288-296

УДК 517.977

MSC: 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-288-296

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-51-53030).

Неразрывно связанный  с именем А.Г. Ченцова метод программных итераций возник в процессе исследования так называемых нерегулярных антагонистических дифференциальных игр. Первоначально рассматривалась лишь одна из двух возможных, двойственных итеративных процедур - максиминная процедура. В значительной мере это объясняется особым интересом, проявляемым к так называемой функции программного максимина, которая в играх преследования имеет привлекательную геометрическую интерпретацию. Вместе с тем не меньший интерес представляет и двойственная к ней минимаксная итеративная процедура. Одно из  главных значений метода программных итераций состоит в том, что на его основе может быть построена теория дифференциальных игр в замкнутой и весьма компактной форме. Ранее это было проиллюстрировано для одной из версий метода, базирующейся на определенной модификации итерационных операторов. Ключевую роль в этой теории играет теорема о существовании и единственности решения уравнения, порождаемого парой упомянутых операторов.  При этом максиминная итеративная процедура используется для описания  $\varepsilon$-оптимальных, а в ряде случаев и оптимальных позиционных стратегий 1-го игрока, а минимаксная -  для описания  $\varepsilon$-оптимальных, а иногда и оптимальных позиционных стратегий 2-го игрока. В настоящей статье исследована структура множества решений обобщенного уравнения Айзекса - Беллмана, полученного с использованием исторически первых, а не модифицированных операторов метода программных итераций. При определенных предположениях доказана теорема о существовании и единственности его решения, удовлетворяющего естественному краевому условию. Тем самым показано, что исходная версия метода программных итераций, также может быть использована для построения теории дифференциальных игр в замкнутой форме. Однако при этом используются не позиционные, а так называемые рекурсивные стратегии, которые вместе с самим методом программных итераций играют существенную роль в исследовании бескоалиционных дифференциальных игр.

Ключевые слова: антагонистическая дифференциальная игра, терминальный выигрыш, метод программных итераций, обобщенное уравнение Айзекса - Беллмана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. Т. 224, № 6. С. 1272–1275.

2. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99, вып. 3. C. 394–420.

3. Чистяков С.В., Петросян Л.О. Об одном подходе к решению игр преследования // Вестн. ЛГУ. 1977. Вып. 1. С. 77–82.

4. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, вып. 5. С. 825–832.

5. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

6. Chistyakov S., Nikitin F. On value operators in differential games // Appl. Math. Sci. 2015. Vol. 9, no. 59. P. 2941–2952.

7. Чистяков С.В. Операторы значения антагонистических дифференциальных игр. СПб: Изд-во СПбГУ, 1999. 62 с.

8. Никитин Ф.Ф., Чистяков С.В. Теорема существования и единственности решения обобщенного уравнения Айзекса - Беллмана // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 6. С. 743–752.

9. Чистяков С.В. О функциональных уравнениях в играх сближения в заданный момент времени // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 5. С. 874–877.

10. Chentsov A.G., Subbotin A.I. An iterative procedure for constructing minimax and viscosity solutions to the Hamilton–Jacobi equations and its generalization // Proc. Steklov Inst. Math. 1999. Vol. 224. P. 286–309.

11. Chistyakov S.V., Nikitin F. F. On regular differential games of persuit with fixed duration // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. 2014. Iss. 4. P. 17–24.

12. Чистяков С.В. Программные итерации и универсальные $\varepsilon$-оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 6. С. 1333–1335.

13. Nikitin F.F. Viscosity solutions and programmed iteration method for Isaacs-Bellman equation // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. 2014. Iss. 2. P. 84–92.

14. Чистяков С.В. О бескоалиционных дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259, № 5. С. 1052–1055.

Поступила 10.10.2017

Сергей Владимирович Чистяков
д-р физ.-мат. наук, профессор
Санкт-Петербургский государственный университет,
г. Санкт-Петербург
e-mail: svch50@mail.ru

English

S.V. Chistyakov. On equations of the program iteration method.

The program iteration method, which is inseparably associated with the name of A.G. Chentsov, first appeared in the study of the so-called zero-sum differential games. At early stages, only one of the two possible dual iterative procedures was considered - the maximin procedure. This can be explained by the special interest of the researchers in the so-called program maximin function, which is conveniently interpreted in geometric terms in games of pursuit. Nevertheless, the dual minimax iterative procedure is of no less interest. The program iteration method is mainly significant because it may be used as the basis for the development of a differential game theory in a closed compact form, which was shown earlier for a version of the method based on a certain modification of iterative operators. The key role in this theory belongs to the theorem that states the existence and uniqueness of a solution of the equation induced by a pair of such operators. In this case, the maximin iterative procedure is used to describe $\varepsilon$-optimal (in some cases, optimal) positional strategies of the first player, while the minimax procedure is used to describe $\varepsilon$-optimal (in some cases, optimal) positional strategies of the second player. This paper investigates the structure of the solution set of the generalized Isaacs-Bellman equation obtained with the use of historically first (not modified) operators of the program iteration method. A theorem that states the existence and uniqueness of the solution to this equation meeting a natural boundary condition is proved under certain assumptions. Thus, it is shown that the original version of the program iteration method can also be used in designing a closed-form differential game theory. However, here we use the so-called recursive strategies rather than positional ones. Such strategies, together with the program iteration method, play an essential role in the analysis of coalition-free differential games.

Keywords: zero-sum differential game, terminal payoff, program iteration method, generalized Isaacs-Bellman equation.

The paper was received by the Editorial Office on October 10, 2017.

Sergey Vladimirovich Chistyakov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., St. Petersburg State University, St.
Petersburg, 199034 Russia, e-mail: svch50@mail.ru .