А.А. Толстоногов. Пространство непрерывных многозначных отображений c замкнутыми неограниченными значениями ... С. 200-208

УДК 515.126.83

MSC: 58C06

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-200-208

Рассматривается пространство непрерывных многозначных  отображений, определенных на локально компактном пространстве ${\cal T}$ со счетной базой. Значениями этих отображений являются замкнутые, не обязательно ограниченные множества из метрического пространства $(X,d(\cdot))$, в котором замкнутые шары являются компактами. Пространство $(X,d(\cdot))$ локально компактно и сепарабельно. Пусть $Y$ - счетное плотное множество из $X$. Расстояние $\rho (A, B)$ между множествами $A, B$ из семейства $CL(X)$ всех непустых, замкнутых подмножеств из $X$ определяется как $$\rho(A,B)=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}\, \frac{\mid d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid}
{1+\mid d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid},$$
где $d(y_i,A)$ - расстояние от точки $y_i \in Y$ до множества $A$. Это расстояние не зависит от выбора множества $Y$, и функция $\rho (A, B)$ является метрикой на пространстве $CL(X)$. Сходимость последовательности множеств $A_n, n\ge 1,$ из метрического пространства $(CL(X),\rho (\cdot))$ эквивалентна сходимости последовательности $A_n, n\ge 1,$ по Куратовскому. Доказаны полнота и сепарабельность метрического пространства $(CL(X),\rho (\cdot))$ и даны необходимые и достаточные условия компактности множеств в этом пространстве. Пространство $C({\cal T}, CL(X))$ всех непрерывных отображений из ${\cal T}$ в  $(CL(X),\rho (\cdot))$ наделено топологией равномерной сходимости на компактах из ${\cal T}$. Доказаны полнота, сепарабельность пространства  $C({\cal T}, CL(X))$ и даны необходимые и достаточные условия компактности множеств в пространстве $C({\cal T}, CL(X))$. Эти результаты переформулированы для пространства $C(T, CCL(X))$, где $T=[0,1], \; X$ - конечномерное евклидово пространство и $CCL(X)$ - пространство всех непустых, замкнутых выпуклых множеств из $X$ с метрикой $\rho (\cdot )$. Это пространство играет большую роль при изучении процессов выметания. Приведен контрпример, показывающий существенность предположения компактности замкнутых шаров из $X$.

Ключевые слова: неграниченные множества, сходимость по Куратовскому, компактность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Толстоногов А.А. Исследование нового класса управляемых систем // Докл. АН. 2012. Т. 443, № 1. С. 26–28.

2. Tolstonogov A.A. Control sweeping processes // J. Convex Analysis. 2016. Vol. 23, no. 4. P. 1099–1123.

3. Shouchuan Hu, Papageorgiou N.S. Handbook of multivalued analysis. Theory. Vol. 1. Dordrecht; Boston; London: Kluwer, 1997. 968 p. (Math. Its Appl., vol. 149).

4. Панасенко Е.А., Родина Л.И., Тонков Е.Л. Пространство clcv $(R^n)$ с метрикой Хаусдорфа - Бебутова и дифференциальные включения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. C. 162–177.

5. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multivalued maps with images in the space of closed subset of a metric space // Fixed Point Theory. Appl. 2013. Vol. 10. 21 p. doi: 10.1186/1687-1812-2013-10 .

6. Толстоногов А.А. Компактность в пространстве многозначных отображений с замкнутыми значениями // Докл. АН. 2014. Т. 456, № 2. С. 146–149.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. М.: Наука, 1975. 408 p.

8. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 c.

9. Beer G. Metric spaces with nice closed balls and distance functions for closed sets // Bull. Australian Math. Soc. 1987. Vol. 35, № 1. P. 81–96.

10. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 275 c.

11. Куратовский К. Топология. Т. 2. М.: Мир, 1969. 624 c.

12. Beer G. On convergence of closed sets in a metric space and distance functions // Bull. Australian Math. Soc. 1985. Vol. 31. P. 421–432. doi: 10.1017/S0004972700009370 .

13. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. М.: Мир. 1978. 320 c.

Поступила 25.09.2017

Толстоногов Александр Александрович
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова
Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН),
г. Иркутск
e-mail: aatol@icc.ru

English

A.A. Tolstonogov. Space of continuous set-valued mappings with closed unbounded values.

We consider a space of continuous multivalued mappings defined on a locally compact space ${\cal T}$ with countable base. Values of these mappings are closed not necessarily bounded sets from a metric space $(X,d(\cdot))$ in which closed balls are compact. The space $(X,d(\cdot))$ is locally compact and separable. Let $Y$ be a dense countable set from $X$. The distance $\rho(A,B)$ between sets $A$ and $B$ from the family $CL(X)$ of all nonempty closed subsets of $X$ is defined as
$$\rho(A,B)=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}\,\frac{\mid d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid}{1+\mid d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid},$$
where $d(y_i,A)$ is the distance from a point $y_i \in Y$ to the set $A$. This distance is independent of the choice of the set $Y$, and the function $\rho(A,B)$ is a metric on the space $CL(X)$. The convergence of a sequence of sets $A_n$, $n\ge 1$, from the metric space $(CL(X),\rho(\cdot))$ is equivalent to the Kuratowski convergence of this sequence. We prove the completeness and separability of the space $(CL(X),\rho (\cdot))$ and give necessary and sufficient conditions for the compactness of sets in this space. The space $C({\cal T}, CL(X))$ of all continuous mappings from ${\cal T}$ to $(CL(X),\rho (\cdot))$ is endowed with the topology of uniform convergence on compact sets from ${\cal T}$. We prove the completeness and separability of the space $C({\cal T}, CL(X))$ and give necessary and sufficient conditions for the compactness of sets in this space. These results are reformulated for the space $C(T,CCL(X))$, where $T=[0,1]$, $X$ is a finite-dimensional Euclidean space, and $CCL(X)$ is the space of all nonempty closed convex sets from $X$ with the metric $\rho(\cdot)$. This space plays a crucial role in the study of sweeping processes. A counterexample showing the significance of the assumption of the compactness of closed balls from $X$ is given.

Keywords: unbounded sets, Kuratowski convergence, compactness.

The paper was received by the Editorial Office on September 25, 2017.

Aleksandr Aleksandrovich Tolstonogov, RAS Corresponding Member, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof.,
Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy
of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: aatol@icc.ru .