Л.И. Родина. Об асимптотических свойствах решений управляемых систем со случайными параметрами ... С. 189-199

УДК 517.935

MSC: 34A60, 37N35, 49J15, 93B03

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-189-199

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16–01–00346-а).

Рассматриваются дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием, зависящие от случайных параметров. Стохастическое поведение данных объектов выражается в том, что длины интервалов $\theta_k$ между моментами импульсов $\tau_k,$ $k=0,1,\ldots,$ являются случайными величинами и размеры импульсов также зависят  от случайных воздействий. Основным объектом исследования выступает управляемая система
\begin{gather*}
\dot x=f(t,x,u),\quad t\ne\tau_k,\\
\Delta x\bigl|_{t=\tau_k}=g(x,w_k,v_k),
\end{gather*}
зависящая от случайных параметров $\theta_k=\tau_{k+1}-\tau_k$ и $v_k,$ $k=0,1,\ldots.$ На множестве $\Sigma$ всех возможных последовательностей $\bigr((\theta_0,v_0),\dots,(\theta_k,v_k),\dots\bigl)$ определена вероятностная мера $\mu.$ В качестве допустимых управлений $u=u(t)$ берем всевозможные ограниченные измеримые функции со значениями в компактном множестве $U\subset \mathbb{R}^m;$ вектор $w_k$ также является управлением, влияющим на поведение системы в моменты времени $\tau_k.$ Рассматривается множество $\mathfrak M=\bigl\{(t,x): t\in[0,+\infty),\, x\in M(t)\bigr\},$ заданное функцией $t\mapsto M (t),$ непрерывной в метрике Хаусдорфа. Основными результатами работы являются достаточные условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M,$ выполненные с вероятностью единица. Показано, что исследование устойчивости множества с помощью метода функций Ляпунова можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения соответствующего дифференциального уравнения. Также изучается асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, зависящих от случайных параметров. Получены условия, при которых решения уравнений обладают свойствами устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости, выполненными для всех значений случайного параметра и выполненными с вероятностью единица.  Результаты работы проиллюстрированы на примерах вероятностной модели популяции, подверженной промыслу и модели конкуренции двух видов с импульсным воздействием.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения и управляемые системы со случайными параметрами, устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Недорезов Л.В. Курс лекций по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. 161 с.

2. Недорезов Л.В., Назаров И.Н. Непрерывно-дискретные модели динамики изолированной популяции и двух конкурирующих видов // Мат. структуры и моделирование. 1998. Вып. 2. С. 77–91.

3. Недорезов Л.В., Утюпин Ю.В. Дискретно-непрерывная модель динамики численности двуполой популяции // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 3. С. 650–659.

4. Bainov D.D. Population dynamics control in regard to minimizing the time necessary for the regeneration of a biomass taken away from the population // Appl. Math. Comp. 1990. Vol. 39, № 1. P. 37–48.

5. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. 256 c.

6. Родина Л.И. О некоторых вероятностных моделях динамики роста популяций // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 109–124. doi: 10.20537/vm130411 .

7. Родина Л.И. Об инвариантных множествах управляемых систем со случайными коэффициентами // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 4. С. 109–121. doi: 10.20537/vm140409 .

8. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 580 с.

9. Родина Л.И., Тютеев И.И. Об асимптотических свойствах решений разностных уравнений со случайными параметрами // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика.Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, вып. 1. С. 79–86. doi: 10.20537/vm160107 .

10. Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Изв. ИМИ УдГУ. 2012. Вып. 2(40). С. 3–164.

11. Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Тр. МИАН. 2008. Т. 262. С. 202–221.

12. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 300 с.

13. Ларина Я.Ю. Функции Ляпунова и теоремы сравнения для управляемых систем с импульсным воздействием // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25, вып. 1. С. 51–59. doi: 10.20537/vm150106 .

14. Ларина Я.Ю., Родина Л.И. Асимптотически устойчивые множества управляемых систем с импульсным воздействием // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, вып. 4. С. 490–502. doi: 10.20537/vm160404 .

15. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. 761 c.

16. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.; Ленинград: Гостехиздат, 1950. 102 с.

17. Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Распространение теорем Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 3. С. 185–201.

18. Ларина Я.Ю. О слабой асимптотической устойчивости управляемых систем с импульсным воздействием // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, вып. 1. С. 68–78. doi: 10.20537/vm160106 .

Поступила 30.09.2017

Родина Людмила Ивановна
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры
функционального анализа и его приложений
Владимирского государственного университета
им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых,
г. Владимир
e-mail: LRodina67@mail.ru

English

L.I. Rodina. On asymptotic properties of solutions of control systems with random parameters.

Differential equations and control systems with impulse action and random parameters are studied. These objects are characterized by stochastic behavior: the lengths $\theta_k$ of the intervals between the times of the impulses $\tau_k$, $k=0,1,\ldots $, are random variables and the magnitudes of the impulses also depend on random actions. The basic object of research is the control system
\begin{gather*} \dot x=f(t,x,u),\quad t\ne\tau_k,\\
\Delta x\bigl|_{t=\tau_k}=g(x,w_k,v_k), \end{gather*}
which depends on random parameters $\theta_k=\tau_{k+1}-\tau_k$ and $v_k$, $k=0,1,\ldots$. A probability measure $\mu$ is defined on the set $\Sigma$ of all possible sequences $\bigr ((\theta_0, v_0), \dots,(\theta_k, v_k),\dots\bigl)$. Admissible controls $u=u(t)$ are bounded measurable functions with values in a compact set $U\subset R^m$, and the vector $w_k $ is also a control affecting the behavior of the system at the times $\tau_k$. We consider the set $\mathfrak M=\bigl\{(t,x): t\in[0,+\infty),\, x\in M(t)\bigr\}$ defined by the function $t\mapsto M (t)$, which is continuous in the Hausdorff metric. The main result of the paper is sufficient conditions for the Lyapunov stability and asymptotic stability of the set $\mathfrak M$ with probability one. It is shown that the stability analysis of a set by means of the method of Lyapunov functions can be reduced to studying the stability of the zero solution of the corresponding differential equation. We also study the asymptotic behavior of solutions of differential equations with impulse action and random parameters. Conditions are obtained under which the solutions possess the Lyapunov stability and asymptotic stability for all values of the random parameter  and with probability one. The results are illustrated by a probability model of a population subject to harvesting and by a model of competition of two kinds with impulse action.

Keywords: differential equations and control systems with random parameters, Lyapunov stability, asymptotic stability.

The paper was received by the Editorial Office on September 30, 2017.

Lyudmila Ivanovna Rodina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Vladimir State University, Vladimir, 600000
Russia, e-mail: LRodina67@mail.ru .