В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев. Импульсная дифференциальная игра со смешанным ограничением на выбор управления первого игрока ... С. 209-222

УДК 519.857

MSC: 49N70, 49N75, 91A23, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-209-222

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00264_а).

Рассматривается линейная дифференциальная игра, в которой первый игрок имеет как импульсное управление, так и управление, стесненное геометрическим ограничением. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего импульсного управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к “мгновенному” изменению фазового вектора; это усложняет задачу. Управление второго игрока стеснено геометрическим ограничением. Вектограммы игроков описываются одним и тем же шаром с разными радиусами, зависящими от времени. Терминальным множеством в игре является шар с заданным радиусом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. Найдены необходимые и достаточные условия встречи с терминальным множеством в заданный момент времени. Построены соответствующие управления игроков, которые гарантируют достижение поставленных перед ними целей. Приведено решение примера, иллюстрирующего теорию.

Ключевые слова: дифференциальная игра, управление, импульсное управление, поимка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 c.

2. Красовский Н.Н. Об одной задаче преследования // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27, вып. 2. C. 244–254.

3. Красовский Н.Н., Репин Ю.М., Третьяков В.Е. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 4. С. 3–23.

4. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил // Дифференц. уравнения. 1966. Т 2, № 5. С. 587–599.

5. Пожарицкий Г.К. Игровая задача импульсного сближения с противником, ограниченным по энергии // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, вып. 4. C. 579–589.

6. Субботина Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при ограничениях на импульсы управлений игроков // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, вып. 3. C. 397–406.

7. Серов В.П., Ченцов А.Г. О программной линейной игровой задаче наведения при ограничении на импульс управляемой силы // Автоматика и телемеханика. 1993. № 5. C. 61–74.

8. Кумков С.И., Пацко В.С. Информационное множество в задаче импульсного управления // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. C. 195–206.

9. Петров Н.Н. Задача группового преследования в классе импульсных стратегий преследователей // Изв-я РАН, Теория и системы управления. 2009. № 2. C. 38–44.

10. Котлячкова Е.В. К нестационарной задаче простого преследования в классе импульсных стратегий // Изв-я Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Т. 1, № 45. C. 106–113.

11. Чикрий А.А., Матичин И.И. Линейные дифференциальные игры с импульсным управлением игроков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 1. C. 212–224.

12. Белоусов А.А. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями и импульсными управлениями // Докл. НАН Украины. 2013. № 11. C. 37–42.

13. Тухтасинов М. Линейная дифференциальная игра преследования с импульсными и интегрально-ограниченными управлениями игроков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 3. C. 273–282.

14. Ухоботов В.И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений // Прикл. математика и механика. 1988. Т. 52, вып. 3. C. 355–362.

15. Ухоботов В.И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями: учеб. пособие. Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2005. 124 c.

16. Ухоботов В.И., Зайцева О.В. Линейная задача импульсной встречи в заданный момент времени при наличии помехи // Тр. Ин-та математики и механики. 2010. Т. 16, № 1. C. 186–198.

17. Aubin J.-P., Seube N. Conditional viability for impulse differential games // Annals of Operations Research. 2005. Vol. 137, no. 1. P. 269–297. doi: 10.1109/CDC.2002.1184364 .

18. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т. 112, № 3. C. 307–330.

19. Ухоботов В.И. Синтез управления в однотипных дифференциальных играх с фиксированным временем // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. Математика, механика. 1996. Вып. 1. C. 178–184.

20. Ухоботов В.И. Об одном классе линейных дифференциальных игр с импульсными управлениями // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38, вып. 4. C. 590–598.

21. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 c.

Поступила 31.08.2017

Ухоботов Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Челябинский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: ukh@csu.ru

Изместьев Игорь Вячеславович
младший науч. сотрудник
Челябинский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: j748e8@gmail.com

English

V.I. Ukhobotov, I.V. Izmest’ev. Impulse differential game with a mixed constraint on the choice of the control of the first player.

We consider a linear differential game in which the first player can choose both an impulse control and a control subject to a geometric constraint. The first player can use a prescribed amount of resource to form the impulse control. Portions of this amount can be separated at certain times, thus producing “instantaneous” changes of the state vector and complicating the problem. The control of the second player is subject to a geometric constraint. The vectograms of the players are described by the same ball with different time-dependent radii. The terminal set is a ball with fixed radius. The aim of the first player is to bring the state vector to the terminal set at a given time. The aim of the second player is opposite. Necessary and sufficient conditions for meeting the terminal set at the given time are found, and the corresponding controls of the players guaranteeing the achievement of their goals are constructed. A solution of an example illustrating the theory is given.

Keywords: differential game, control, impulse control, capture.

The paper was received by the Editorial Office on August 31, 2017.

Viktor Ivanovich Ukhobotov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelyabinsk,
454001 Russia, e-mail: ukh@csu.ru .

Igor’ Vyacheslavovich Izmest’ev, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia,
e-mail: j748e8@gmail.com.