Е.С. Половинкин. О некоторых свойствах векторных мер ... С. 175-188

УДК 517.977

MSC: 28B05, 46G10, 49J53, 49K99

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-175-188

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00259a) .

В работе исследованы свойства параметризованной последовательности счетно аддитивных векторных мер, имеющих плотность, определенных на компактном пространстве с неотрицательной неатомарной мерой Радона и со значениями, принадлежащими сепарабельному банахову пространству. Каждая векторная мера из этой последовательности непрерывно зависит от параметра, принадлежащего некоторому метрическому пространству. Предполагается, что в метрическом пространстве параметров задано счетное локально конечное открытое покрытие и вписанное в него разбиение единицы. Доказано, что в компактном пространстве носителя векторных мер (с мерой Радона) при каждом значении параметра существует последовательность измеримых (относительно меры Радона на пространстве носителя векторных мер) подмножеств этого компактного пространства, которая образует разбиение этого пространства. При этом последовательность измеримых разбиений равномерно непрерывно зависит от параметра, и при каждом значении параметра и каждом значении индекса последовательности мер относительное значение меры соответствующего подмножества разбиения компактного пространства может быть равномерно приближено соответствующим значением функции разбиения единицы.

Ключевые слова: теорема Ляпунова, счетно аддитивная векторная мера, плотность векторной меры, разбиение единицы, непрерывное отображение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lapunov A.A. Sur le fonction-vecteurs completement additives // Izv. Akad.Nauk SSSR. Ser Math. 1940. Vol. 4. P. 465–478.

2. Lindenstrauss J. A short proof of Lyapounov’s convexity theorem // J. Math. Mech. 1966. Vol. 15. P. 971–972.

3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 481 с.

4. Polovinkin E.S. The properties of continuity and differentiation of solution sets of Lipschetzean differential inclusions // Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty / eds. G.B.Di Masi, A.Gombani, A.B.Kurzhansky. Ser. PSCT 10. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1991. P. 349–360. doi: 10.1007/978-1-4612-0443-5_23 .

5. Половинкин Е.С. Необходимые условия оптимальности с дифференциальными включениями // Тр. МИАН. 1995. Т. 211. С. 387–400.

6. Diestel J., J.J. Uhl Theory of vector measures. Providence: Amer. Math. Soc., 1977. 322 p. (Math. Surveys, No. 15). doi: 10.1090/surv/015 .

7. Fryszkowski. A., Rzezuchowski, T. Continuous version of Filippov–Wazewski relaxation theorem // J. Diff. Eqs. 1992. Vol 94. P. 254–265. doi: 10.1016/0022-0396(91)90092-N.

8. Fryszkowski, A. Continuous selections for a class of nonconvex multivalued maps // Studia Math. 1983. Vol. 76, no. 2. P. 163–174.

9. Fryszkowski, A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht; Boston: Kluwer Acad. Publ., 2004. 209 p. doi: 10.1007/1-4020-2499-1 .

Поступила 25.09.2017

Половинкин Евгений Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры высшей математики
Московского физико-технического института (государственного университета),
г. Москва
e-mail: polovinkin.es@mipt.ru

English

E.S. Polovinkin. On some properties of vector measures.

We study the properties of a parameterized sequence of countably additive vector measures having a density, defined on a compact space with a nonnegative nonatomic Radon measure, and taking values in a separable Banach space. Each vector measure in this sequence depends continuously on a parameter belonging to some metric space. It is assumed that a countable locally finite open covering and a partition of unity inscribed in it are given in the metric space of the parameters. It is proved that, in the compact support space of the vector measures (with Radon measure), for each value of the parameter, there exists a sequence of measurable (with respect to the Radon measure on the support space of the vector measures) subsets of this compact space that forms a partition of this space. Moreover, the sequence of measurable partitions depends uniformly continuously on the parameter and, for each value of the parameter and for each value of the index of the sequence of measures, the relative value of the measure of the corresponding subset of the partition of the compact space can be approximated uniformly by the corresponding value of the partition function of unity.

Keywords: Lyapunov theorem, countably additive vector measure, density of a vector measure, partition of unity, continuous mapping.

The paper was received by the Editorial Office on September 25, 2017.

Evgeny Sergeevich Polovinkin, Dr. Phys.-Math. Sci.„ Prof., Prof. of the Chair of Higher Mathematics,
Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Moscow, 141700 Russia,
e-mail: polovinkin.es@mipt.ru .