Л.А. Петросян, Я.Б. Панкратова. Построение сильного равновесия по Нэшу в одном классе бесконечных неантагонистических игр ... С. 165-174

УДК 517.977

MSC: 91A20

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-165-174

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 17-11-01079).

Ранее авторами (2002, 2017) были получены условия существования сильного равновесия по Нэшу в бесконечношаговых неантагонистических играх при дополнительном ограничении на возможные отклонения коалиций от выбранных наперед стратегий. Эти ограничения допускали лишь однократные единовременные отклонения всех игроков, входящих в коалицию. Однако очевидно, что в реальных задачах отклонения различных игроков могут происходить в различные моменты времени (на различных шагах игры). Поэтому конструкция стратегий наказания, предложенная авторами ранее, оказывается в общем случае неприменима. Принципиальная трудность заключается в том, что игроки, которым предписано осуществить наказание отклонившейся коалиции, в общем случае не знают ни состава отклонившейся коалиции, ни моментов времени, в которые происходят отклонения отдельных игроков. В данной работе мы предлагаем новую форму стратегий наказания, которая не требует информации о коалиции отклоняющихся игроков, а использует только факт отклонения хотя бы одного из игроков коалиции. Разумеется, реализация такой стратегии наказания возможна лишь при выполнении некоторых дополнительных ограничений на одновременные игры компоненты в бесконечношаговой игре. При выполнении этих дополнительных ограничений установлено, что наказание отклонившейся коалиции может быть действительно осуществлено, что позволило доказать существование сильного равновесия по Нэшу в игре.

Ключевые слова: сильное равновесие по Нэшу, характеристическая функция, многошаговая игра, повторяющаяся игра, дележ, ядро.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Физматлит, 1974. 456 c.

2. Петросян Л.А. Сигнальные стратегии и стратегии поведения в одном классе бесконечных позиционных игр // Позиционные игры: сб. ст. / ред. Н.Н. Воробьева и И.Н. Рублевской. М.: Наука, 1967. C. 221–230.

3. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 c.

4. Aumann R.J., Maschler M.. Repeated games with incomplete information. Cambridge: MIT Press, 1995. 360 p. ISBN: 9780262011471 .

5. Fudenberg D., Maskin E. The Folk theorem in repeated games with discounting or with incomplete information // Econometrica. 1986. Vol. 54, no. 3. P. 533–554. doi: 10.2307/1911307 .

6. Maschler M., Solan E., Zamir S. Game theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 1003 p. ISBN: 978-1-107-00548-8 .

7. Myerson R.B. Multistage games with communication // Econometrica. 1986. Т. 54. P. 323–358. doi: 10.2307/1913154 .

8. Nash J. Non-cooperative games // Ann. Mathematics. 1951. Vol. 54, no. 2. P. 286–295. doi: 10.2307/1969529 .

9. Neumann J., Morgenstern O. Theory of games and economic behavior. Princeton, 1947. 641 p. doi: 10.1177/1468795X06065810 .

10. Petrosjan L.A., Grauer L.V. Strong Nash equilibrium in multistage games // International Game Theory Review. 2002. Vol. 4, no. 3. P. 255–264 . doi: 10.1142/S0219198902000689 .

11. Petrosyan L., Chistyakov S., Pankratova Ya. Existence of strong Nash equilibrium in repeated and multistage games // Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of V.F. Demyanov), CNSA 2017; Saint-Petersburg, 2017. P. 255–257. doi: 10.1109/CNSA.2017.7974003 .

12. Rubinstein A. Equilibrium in supergames // Essays in Game Theory. 1994. P. 17–28. doi: 10.1007/978-1-4612-2648-2_ 2 .

Поступила 10.10.2017

Петросян Леон Аганесович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: l.petrosyan@spbu.ru

Панкратова Ярославна Борисовна
канд. физ.-мат. наук, ассистент
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: y.pankratova@spbu.ru

English

L.A. Petrosyan, Ya.B. Pankratova. Construction of a strong Nash equilibrium in a class of infinite non-zero-sum games.

In our previous papers (2002, 2017), we derived conditions for the existence of a strong Nash equilibrium in multistage non-zero-sum games under additional constraints on the possible deviations of coalitions from their agreed-upon strategies. These constraints allowed only one-time simultaneous deviations of all the players in a coalition. However, it is clear that in real-world problems the deviations of different members of a coalition may occur at different times (at different stages of the game), which makes the punishment strategy approach proposed by the authors earlier inapplicable in the general case. The fundamental difficulty is that in the general case the players who must punish the deviating coalition know neither the members of this coalition nor the times when each player performs the deviation. In this paper we propose a new punishment strategy, which does not require the full information about the deviating coalition but uses only the fact of deviation of at least one player of the coalition. Of course, this punishment strategy can be realized only under some additional constraints on simultaneous components of the game in an infinite-stage game. Under these additional constraints it was proved that the punishment of the deviating coalition can be effectively realized. As a result, the existence of a strong Nash equilibrium was established.

Keywords: strong Nash equilibrium, characteristic function, multistage game, repeated game, imputation, core.

The paper was received by the Editorial Office on October 10, 2017.

Leon Aganesovich Petrosyan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Saint Petersburg University, St Petersburg,
199034 Russia, e-mail: l.petrosyan@spbu.ru .

Yaroslavna Borisovna Pankratova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Saint Petersburg University, St.
Petersburg, 199034 Russia, e-mail: y.pankratova@spbu.ru .