Н.Н. Петров. Многократная поимка в одной задаче группового преследования с дробными производными ... С. 156-164

УДК 517.977

MSC: 49N75, 49N70, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-156-164

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00346) и Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части госзадания в сфере науки(проект 1.5211.2017/8.9).

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается  задача преследования группой преследователей одного убегающего  с равными возможностями всех участников, описываемая системой вида
\begin{gather*}
D^{(\alpha)}z_i = a z_i + u_i - v,   \quad u_i, v \in V,
\end{gather*}
где $D^{(\alpha)}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha \in (1, 2)$ функции $f.$ Множество допустимых управлений $V$ - строго выпуклый компакт, $a$ - вещественное число. Целью группы преследователей является  поимка убегающего не менее чем $m$ различными преследователями, при этом моменты поимки могут не совпадать. Терминальные множества - начало координат. Преследователи используют квазистратегии. В терминах начальных позиций получены  достаточные условия разрешимости задачи преследования. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое гарантированное время.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, многократная поимка, преследователь, убегающий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Чикрий A.A. Конфликтно управлямые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 с.

3. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990. 197 c.

4. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 2009. 266 с.

5. Эйдельман С.Д., Чикрий А.А. Динамические задачи сближения для уравнений дробного порядка // Укр. мат. журн. 2000. Т. 52, № 11. С. 1566–1583.

6. Чикрий А.А., Матичин И.И. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 3. С. 262–278.

7. Чикрий А.А., Матичин И.И. О линейных конфликтно-управляемых процессах с дробными производными // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 2. С. 256–270.

8. Григоренко Н.Л. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего // Вестн. МГУ. Сер. Вычислит. математика и кибернетика. 1983. № 1. C. 41–47.

9. Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в задаче простого преследования // Прикл. математика и механика. 2009. Т. 73, вып. 1. C. 54–59.

10. Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями // Прикл. математика и механика. 1997. Т. 61, вып. 5. C. 747–754.

11. Благодатских А.И. Многократная поимка в примере Понтрягина // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. № 2. C. 3–12.

12. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 2. С. 178–186.

13. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л.С.Понтрягина // Автоматика и телемеханика. 2016. № 5. С. 128–135.

14. Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в конфликтно управляемом процессе // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77, вып. 3. C. 433–440.

15. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка убегающего в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. С. 212–218.

16. Благодатских А.И. Многократная поимка жестко соединенных убегающих// Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. С. 46-57.

17. Петров Н.Н. Одна задача группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика.Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 1. С. 54-59.

18. Caputo M. Linear model of dissipation whose q is almost frequency independent-II // Geophys. R. Astr. Soc. 1967. № 13. P. 529–539. doi: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x .

19. Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функции Миттаг - Леффлера // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 40. С. 3–171.

20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

21. Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка // Доповiдi Нацiональноi академii наук Украiни. 2007. № 1. C. 50–55.

Поступила 25.09.2017

Петров Николай Никандрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор ИМИТИФ
Удмуртский государственный университет,
г. Ижевск
e-mail: kma3@list.ru

English

N.N. Petrov. A multiple capture in a group pursuit problem with fractional derivatives.

In a finite-dimensional Euclidean space, we consider a problem of pursuing one evader by a group of pursuers with equal capabilities of all participants. The dynamics of the problem is described by the system
$$ D^{(\alpha)}z_i=az_i+u_i-v,\quad u_i,v\in V, $$
where $D^{(\alpha)}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha\in(1,2)$ of the function $f$. The set of admissible controls $V$ is a strictly convex compact set and $a$ is a real number. The aim of the group of pursuers is to catch the evader by at least $m$ different pursuers, possibly at different times. The terminal sets are the origin. The pursuers use quasi-strategies. We obtain sufficient conditions for the solvability of the pursuit problem in terms of the initial positions. The investigation is based on the method of resolving functions, which allows us to obtain sufficient conditions for the termination of the approach problem in some guaranteed time.

Keywords: differential game, group pursuit, multiple capture, pursuer, evader.

The paper was received by the Editorial Office on September 25, 2017.

Nikolai Nikandrovich Petrov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics, Information
Technology and Physics Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: kma3@list.ru .