В.С. Пацко, А.А. Федотов. Множество достижимости в момент для машины Дубинса в случае одностороннего поворота ... С. 143-155

УДК 517.977

MSC: 93C15, 93B03, 49J15

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-143-155

Исследуется трехмерное множество достижимости “в момент” для нелинейной управляемой системы, которую часто называют машиной Дубинса. Управляемый объект движется на плоскости с постоянной линейной скоростью и ограниченным радиусом поворота. Случай, когда повороты возможны в обе стороны, рассматривался ранее. В данной работе изучается случай, когда поворот возможен только в одну сторону. Если ограничение на управление допускает движение по прямой, то доказано утверждение о том, что в любую точку на границе множества достижимости ведет кусочно-постоянное управление, количество переключений которого не больше двух. Кроме того, двумерные сечения множества достижимости по угловой координате являются выпуклыми. Если движение по прямой исключено в силу заданных ограничений на управление (в каждый текущий момент объект находится в состоянии поворота, при помощи управления выбирается в оговоренных пределах радиус поворота), то количество переключений кусочно-постоянного управления, ведущего на границу множества достижимости в момент, растет с увеличением момента времени, для которого строится множество достижимости. Подробно рассматривается случай, когда такой момент не больше времени поворота на угол $2\pi$ с наименьшим возможным радиусом. Здесь любое кусочно-постоянное управление, ведущее на границу, имеет не более двух переключений и сечения множества достижимости по угловой координате являются строго выпуклыми.

Ключевые слова: машина Дубинса, односторонний поворот, трехмерное множество достижимости, принцип максимума Понтрягина, кусочно-постоянные управления, выпуклость сечений множества достижимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American J. Math. 1957. Vol. 79, no. 3. P. 497–516. doi: 10.2307/2372560 .

2. Марков А.А. Несколько примеров решения особого рода задач о наибольших и наименьших величинах // Сообщ. Харьков. мат. общ. 1889. 2-я сер. Т. 1, вып. 2. С. 250–276.

3. Isaacs R. Games of pursuit / Scientific report of the RAND Corporation, Santa Monica, 1951.

4. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

5. Pecsvaradi T. Optimal horizontal guidance law for aircraft in the terminal area // IEEE Trans. Automatic Control. 1972. Vol. 17, no. 6. P. 763–772. doi: 10.1109/TAC.1972.1100160 .

6. Bakolas E., Tsiotras P. Optimal synthesis of the asymmetric sinistral/dextral Markov–Dubins problem // J. Optim. Theory Appl. 2011. Vol. 150, no. 2. P. 233–250. doi: 10.1007/s10957-011-9841-3 .

7. Choi H. Time-optimal paths for a Dubins car and Dubins airplane with a unidirectional turning constraint: Dissertation for the degree of doctor of philosophy / University of Michigan. Michigan, 2014. 134 p.

8. Бердышев Ю.И. Нелинейные задачи последовательного управления и их приложение / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2015. 193 с. ISBN: 978-5-8295-0381-9 .

9. Robot motion planning and control / ed. J.-P. Laumond // Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 354 p. (Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 229). ISBN: 978-3-540-76219-5 .

10. Laumond J.-P., Mansard N., Lasserre J.-B. Optimality in robot motion: Optimal versus optimized motion // Communications of the ACM. 2014. Vol. 57, no. 9. P. 82–89. doi: 10.1145/2629535 .

11. Автоматизированные системы управления воздушным движением: уч. пос. / Р.М. Ахмедов [и др.]; под ред. С. Г. Пятко, А.И. Красов. СПб.: Политехника, 2004. 446 c. ISBN: 5-7325-0779-5 .

12. Meyer Y., Shima T., Isaiah P. On Dubins paths to intercept a moving target // Automatica. 2015. Vol. 53. P. 256–263. doi: 10.1016/j.automatica.2014.12.039 .

13. Пацко В.С., Пятко С.Г., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 3. С. 8–16.

14. Fedotov A., Patsko V., Turova V. Reachable sets for simple models of car motion // Recent Advances in Mobile Robotics / ed. A.V. Topalov. Rijeka, Croatia: InTech, 2011. P. 147–172. doi: 10.5772/26278 .
URL: http://home.imm.uran.ru/kumkov/Intech_paper_2011/Intech_paper.pdf.

15. Симоненко А.С., Федотов А.А. Множество достижимости для автомобиля Дубинса при несимметричном ограничении на управление [e-resource] // MPMA 2017 (SoProMat 2017), Modern Problems in Mathematics and its Applications: Proc. 48th International Youth School-Conf. (Yekaterinburg, February 5 – February 11, 2017). CEUR-WP, Vol. 1894. P. 79–87. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/opt6.pdf .

16. Takei R., Tsai R. Optimal trajectories of curvature constrained motion in the Hamilton–Jacobi formulation // J. Sci. Comp. 2013. Vol. 54, no. 2-3. P. 622–644. doi: 10.1007/s10915-012-9671-y .

17. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе [и др.] М.: Наука, 1969. 384 с.

18. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

19. Хамза М.Х., Колас И., Рунгальдер В. Оптимальные по быстродействию траектории полета в задаче преследования // Управление космическими аппаратами и кораблями (Вена, сентябрь 1967): Тр. Второго Междунар. симпозиума ИФАК по автоматическому управлению в мирном использовании космического пространства / ред. Б.Н. Петрова, И.С. Уколова. М.: Наука, 1971. С. 410–418.

20. Бердышев Ю.И. Синтез оптимального управления для одной системы 3-го порядка // Вопросы анализа нелинейных систем автоматического управления: cб. науч. тр. / Институт математики имеханики УНЦ АН СССР. Свердловск, 1973. С. 91–101.

Поступила 31.01.2018

Пацко Валерий Семенович
канд. физ.-мат. наук
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru

Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru

English

V.S. Patsko, A.A. Fedotov. Reachable set at a certain time for a Dubins car in the case of a one-sided turn.

We study a three-dimensional reachable set “at a time” for a nonlinear control system often called a Dubins car. The controlled object (a car) moves in a plane with a constant linear velocity and bounded turning radius. The case where the car can turn left and right was studied earlier. In this paper, we investigate the case where the car can turn only in one direction. In the case where the constraints imposed on the control permit a straight line motion, we prove that the system can be guided to any point of the boundary of the reachable set by means of a piecewise-constant control with at most two switchings. Moreover, two-dimensional sections of the reachable set with constant angular coordinate are convex. If the constraints on the control forbid a straight line motion (which means that the car is turning at each time and the turning radius is chosen within prescribed limits), then the number of switchings of a piecewise-constant control guiding the system to the boundary of the reachable set grows with the growth of the time for which the reachable set is constructed. We consider in detail the case where this time is not greater than the time needed for a $2\pi$ turn with the smallest possible turning radius. In this case, any piecewise-constant control guiding the system to the boundary has at most two switchings, and the sections of the reachable set with constant angular coordinate are strictly convex.

Keywords: Dubins car, one-sided turn, three-dimensional reachable set, Pontryagin maximum principle, piecewise-constant control, convexity of sections of a reachable set.

The paper was received by the Editorial Office on January 31, 2018.

Valerii Semenovich Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural
Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru .

Andrei Anatol’evich Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: andreyfedotov@mail.ru .