С. М. Асеев. Об одной задаче оптимального управления с разрывным интегрантом ... С. 15-26

УДК 517.977

MSC:  49KXX

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-15-26

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-50-00005).

Рассматривается задача оптимального управления для автономного дифференциального включения со свободным временем и функционалом смешанного типа, содержащим в интегральном члене характеристическую функцию заданного открытого множества $M\subset\mathbb{R}^n$. Постановка данной задачи ослабляет постановку классической задачи оптимального управления с фазовым ограничением на случай, когда нахождение допустимых траекторий системы в множестве $M$ физически возможно, но нежелательно, например, исходя из соображений безопасности или неустойчивости системы. При помощи метода аппроксимаций получены необходимые условия оптимальности допустимой траектории в форме гамильтонова включения Кларка, содержащие нестандартное условие стационарности гамильтониана. Так же как и в случае задачи с фазовым ограничением, полученные необходимые условия оптимальности могут вырождаться. Приведены условия, гарантирующие их невырожденность и поточечную нетривиальность. Полученные результаты распространяют предыдущие результаты автора на случай задачи со свободным временем и более общим функционалом.

Ключевые слова:  зона риска, фазовые ограничения, оптимальное управление, гамильтоново включение, принцип максимума Понтрягина, условия невырожденности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арутюнов А.В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности // Мат. анализ. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 27. С. 147–235. ISBN: 5-88688-015-1 .

2.   Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997. 254 p.

3.   Асеев С.М., Оптимизация динамики управляемой системы при наличии факторов риска // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, №. 1. С. 27–42. doi: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-27-42 .

4.   Асеев С.М., Смирнов А.И. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального прохождения через заданную область // Докл. РАН, 2004. Т. 395, №. 5. С. 583–585.

5.   Асеев С.М., Смирнов А.И. Необходимые условия оптимальности первого порядка для задачи оптимального прохождения через заданную область // Нелинейная динамика и управление: cб. статей. М.: Физматлит, 2004. Т. 4. С. 179–204.

6.   Иоффе А.Д., Тихомиров В.М., Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 481 c.

7.   Arutyunov, A.V., Karamzin, D.Yu., Pereira, F.L. The maximum principle for optimal control problems with state constraints by R.V. Gamkrelidze: revisited // J. Optim. Theory Appl. 2011. Vol. 149, iss. 3. P. 474–493.

8.   Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 c.

9.   Мордухович Б.Ш. Принцип макисмума в задачах оптимального быстродействия с негладкими ограничениями // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, вып. 6. С. 1014–1023.

10.   Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

11.   Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

12.    Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 393 p.

13.   Пшеничный Б.Н., Очилов С. О задаче оптимального прохождения через заданную область // Кибернетика и вычисл. техника. 1993. Т. 99. С. 3–8.

14.   Пшеничный Б.Н., Очилов С. Об одной специальной задаче оптимального быстродействия // Кибернетика и вычисл. техника. 1994. Т. 101. С. 11–15.

15.   Смирнов А.И. Необходимые условия оптимальности для одного класса задач оптимального управления с разрывным интегрантом // Тр. МИАН. 2008. Т. 262. С. 222–239.

16.   Arutyunov A.V., Aseev S.M. Investigation of the degeneracy phenomenon of the maximum principle for optimal control problems with state constraints // SIAM J. Control Optim. 1997. Vol. 35, no. 3. P. 930–952. doi: : https://doi.org/10.1137/S036301299426996X .

17.   Aseev S.M. Methods of regularization in nonsmooth problems of dynamic optimization // J. Math. Sci. 1999. Vol. 94, no. 3. P. 1366–1393. doi: : https://doi.org/10.1007/BF02365018 .

18.   Cesari L. Optimization – theory and applications. Problems with ordinary differential equations. N Y, Springer, 1983, 542 p. doi: : https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8165-5 .

19.   Ferreira, M.M.A., Vinter, R.B. When is the maximum principle for state constrained problems nondegenerate? // J. Math. Anal. Appl. 1994. Vol. 187, no. 2. P. 438–467. doi: : https://doi.org/10.1006/jmaa.1994.1366 .

20.   Fontes F.A.C.C., Frankowska H. Normality and nondegeneracy for optimal control problems with state constraints // J. Optim. Theory Appl. 2015. Vol. 166, iss. 1. P. 115–136.
doi: : https://doi.org/10.1007/s10957-015-0704-1 .

Поступила 10.10.2017

Асеев Сергей Миронович 
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
зав. отделом дифференциальных уранений
Математический институт им. В.А.Стеклова РАН,  г. Москва

English

S. M. Aseev. On an optimal control problem with discontinuous integrand.

We consider an optimal control problem for an autonomous differential inclusion with free terminal time and a mixed functional which contains the characteristic function of a given open set $M\subset\mathbb{R}^n$ in the integral term. The statement of the problem weakens the statement of the classical optimal control problem with state constraints to the case when the presence of admissible trajectories of the system in the set $M$ is physically allowed but unfavorable due to safety or instability reasons. Using an approximation approach, necessary conditions for the optimality of an admissible trajectory are obtained in the form of Clarke's Hamiltonian inclusion. The result involves a nonstandard stationarity condition for the Hamiltonian. As in the case of the problem with a state constraint, the obtained necessary optimality conditions may degenerate.Conditions guaranteeing their nondegeneracy and pointwise nontriviality are presented. The results obtained extend the author's previous results to the case of a problem with free terminal time and more general functional.

Keywords: risk zone, state constraints, optimal control, Hamiltonian inclusion, Pontryagin maximum principle, nondegeneracy conditions.

The paper was received by the Editorial Office on October 10, 2017.

Sergey Mironovich Aseev, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia, e-mail: aseev@mi.ras.ru.