А.А. Азамов. О порождающих алгебры матриц и ее некоторых подалгебр ... С. 8-14

УДК 517.977

MSC: 15A30, 15B99

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-8-14

Работа выполнена при финансовой поддержке Комитета по координации развития науки и технологий при Кабинете министров Республики Узбекистан (проект ОТ-Ф4-84).

Показывается, что полная алгебра матриц $M_n$ допускает систему порождающих из двух нильпотентных матриц $P,$ $Q$ таким образом, что любая матрица $A = (a_{ij})$ выражается явно через $P$ и $Q$ в виде $A = \sum_{i\neq j}a_{ij}P^{i-1}QP^{n-j};\, i,j = 1, 2, \ldots, n.$ Приводится приложение этого представления к вычислению степеней матрицы коэффициентов $A$ линейной системы $x_{n+1}=Ax_n+r_n,$ моделирующей процесс теплообмена в регенеративных воздухоподогревателях. При этом получаются удобные рекуррентные формулы для элементов $A^{k}, k=1, 2, \ldots,\,.$ Рассматривается также задача построения простых систем порождающих для подалгебр диагональных и треугольных матриц. Отмечено, что порождающая матрица подалгебры диагональных матриц связана с интерполяционной формулой Лагранжа. Установлено, что подалгебра треугольных матриц $T_n$ порождается диагональной матрицей с попарно различными элементами и первой косой диагональю. Показано, что треугольная матрица $A\in T_n$ с попарно различными диагональными элементами может быть приведена к жордановой форме в пределах самой подалгебры $T_n,$ т. е. существует $L\in T_n,$ такая, что $L^{-1}AL$ будет диагональной. В общем случае это свойство не имеет места для произвольных матриц из $T_n.$

Ключевые слова: алгебра матриц, система образующих, нильпотентная матрица, матричная единица, подалгебра, жорданова форма, интерполяционный многочлен, дискретная система, воздухонагреватель, теплообмен.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kostov V.P. The minimal number of generators of a matrix algebra // J. Dynamic. Control Systems. 1996. Vol. 2, no. 4. P. 549–555. doi:  https://doi.org/10.1007/BF02254702 .

2. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.

3. Laffey T.J. Simultaneous reduction of sets of matrices under similarity // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 84. P. 123–138. doi:  10.1016/0024-3795(86)90311-3 .

4. Laffey T.J. Algebras generating by two idempotetnts // Linear Algebra Appl. 1981. Vol. 37. P. 45–53. doi:  10.1016/0024-3795(81)90166-X .

5. Rowen L., Segev Y. Associated and Jordan algebras generated by two idempotetns [e-resource]. 2016. Available at: https://arxiv.org/abs/1609.04899 . 11 p.

6. Vais I. Algebras that are generated by two idempotents // Seminar Analysis (Berlin, 1987/1988). Berlin: Akademie-Verlag, 1988. P. 139–145.

7. Aslaksen H., Sletsjøe Arne B. Generators of matrix algebras in dimension 2 and 3 // Linear Algebra Appl. 2009. Vol. 430, no. 1. P. 1–6. doi:  https://doi.org/10.1016/j.laa.2006.05.022 .

8. Popov V.L. An analogue of M.Artin’s conjecture on invariants for nonassociative algebras // Lie Groups and Lie Algebras: E.B.Dynkin’s Seminar. Providence: Amer. Math. Soc., 1995. P. 121–143. (American Math. Soc. Trans. Ser. 2, vol. 169.)

9. Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.

10. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2005. 358 с.

11. Davis P.J. Circulant matrices: Second edition. Providence: Amer. Math. Soc., 1994. 250 p.

12. Кирсанов Ю.А. Циклические тепловые процессы и теория теплопроводности в регенеративных воздухоподогревателях. М.: Физматлит, 2007. 240 с.

13. Lee Chi-Liang Regenerative air preheaters with four channels in a power plant system // J. Chinese Inst. Eng. 2009. Vol. 77, iss. 5. pp. 703–710. doi:  https://doi.org/10.1080/02533839.2009.9671552 .

14. Azamov A.A., Bekimov M.A. A discrete model of the heat exchange process in rotating regenerative air preheaters // Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN. 2017. Vol 23, № 1. P. 12–19. doi:  https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-12-19 .

15. Azamov A.A., Bekimov M.A. Simplified model of the heatexchange process in rotary regenerative air pre-heaters // Ural Math. J. 2016. Vol. 2, no. 2. P. 27–36. doi:  https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.003 .

16. Романко В.К. Курс разностных уравнений. М.: Физматлит, 2012. 200 с.

Поступила 18.10.2017

Азамов Абдулла 
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Института математики им. В.И.Романовского АН РУз, г. Ташкент
e-mail: abdulla.azamov@gmail.com

English

A. A. Azamov. On generators of a matrix algebra and some of its subalgebras.

It is shown that a full matrix algebra $M_n$ admits a generator system consisting of two nilpotent matrices $P$ and $Q$ such that any matrix $A=(a_{ij})$ is expressed explicitly in terms of $P$ and $Q$ as $A=\sum_{i\neq j}a_{ij}P^{i-1}QP^{n-j}$, $i,j=1,2,\ldots,n$. We show how this representation can be applied to calculate the powers of the coefficient matrix $A$ of a linear system $x_{n+1}=Ax_n+r_n$ modeling heat exchange in a regenerative air preheater. More exactly, we obtain convenient recursive formulas for the elements of $A^{k}$, $k=1,2,\ldots$. We also consider the problem of constructing a simple system of generators for the subalgebras of diagonal and triangular matrices. We observe that a generating matrix of the subalgebra of diagonal matrices is related to the Lagrange interpolation formula and prove that the subalgebra of triangular matrices is generated by a diagonal matrix with pairwise different elements and first skew diagonal. It is shown that a triangular matrix $A \in T_n$ with pairwise different diagonal elements can be reduced to a Jordan form within the subalgebra $T_n$; i.e., there exists $L\in T_n$ such that $L^{-1}AL$ is diagonal. In the general case this property does not hold for arbitrary matrices from $T_n$.


Keywords: matrix algebra, system of generators, nilpotent matrix, matrix unit, subalgebra, Jordan form, interpolation polynomial, discrete system, air preheater, heat exchange.

The paper was received by the Editorial Office on October 18, 2017.

Abdulla Azamovich Azamov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Uzbekistan Academy of Sciences V.I.Romanovskiy Institute of Mathematics, Tashkent, 100041 Uzbekistan,
e-mail: abdulla.azamov@gmail.com.