А. Л. Багно, А. М. Тарасьев. Дискретная аппроксимация уравнения Гамильтона — Якоби для функции цены в задаче оптимального управления с бесконечным горизонтом ... С. 27-39

УДК 517.977

MSC: 49K15, 49L25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-27-39

Полная версия статьи

В статье рассматривается задача оптимального управления на бесконечном горизонте с подынтегральным индексом, входящим в функционал качества с дисконтирующим множителем. Основной особенностью постановки задачи является неограниченность подынтегрального индекса. Это позволяет проводить анализ моделей экономического роста с линейными, степенными и логарифмическими функциями полезности. Исследуется дискретная аппроксимация уравнения Гамильтона — Якоби для построения функции цены исходной задачи. Показано выполнений условий Гёльдера и подлинейного роста для решения уравнения дискретной аппроксимации. Показана равномерная сходимость решений аппроксимационных уравнений к функции цены задачи оптимального управления. Полученные результаты могут быть использованы для построения сеточных методов аппроксимации функции цены задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени. Разрабатываемые методы являются эффективными средствами в моделировании процессов экономического роста.

Ключевые слова: дискретная аппроксимация, оптимальное управление, уравнение Гамильтона — Якоби, вязкостное решение, бесконечный горизонт, функция цены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bertsekas D. P. Dynamic programming and optimal control. Vol. I. Belmont: Athena Scientific, 2017. 576 p. ISBN: 1-886529-26-4 .

2.   Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277, no. 1. P. 1–42. doi: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1983-0690039-8 .

3.   Dolcetta I. C. On a discrete approximation of the Hamilton — Jacobi equation of dynamic programming // Appl. Math. Optimiz. 1983. Vol. 10, no. 4. P. 367–377. doi: https://doi.org/10.1007/BF01448394 .

4.   Dolcetta I. C., Ishii H. Approximate solution of the Bellman equation of deterministic control theory // Appl. Math. Optimiz. 1984. Vol. 11, no. 2. P. 161–181. doi: https://doi.org/10.1007/bf01442176 .

5.   Адиатулина Р. А., Тарасьев А. М. Дифференциальная игра неограниченной продолжительности // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 4. С. 531–537.

6.   Багно А. Л., Тарасьев А. М. Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, вып. 1. C. 3–14. doi: https://doi.org/10.20537/vm160101 .

7.   Багно А. Л., Тарасьев А. М. Свойства стабильности функции цены в задаче оптимального управления с бесконечным горизонтом // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. C. 43–56. doi: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-43-56 .

8.   Красовский А. А. Тарасьев А. М. Динамическая оптимизация инвестиций в моделях экономического роста // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 38–52.

9.   Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: учеб. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Дело, 2004. 576 с. ISBN: 5-7749-0055-Х .

10.   Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

11.   Субботин А. И., Тарасьев А. М. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, № 3. С. 559–564.

12.   Султанова Р. А. Минимаксные решения уравнений в частных производных: дис. …канд. физ.-мат. наук / Урал. гос. ун-т им. А. М. Горького. Екатеринбург, 1995. 192 с.

Поступила 1.12.2017

Багно Александр Леонидович
аспирант
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: bagno.alexander@gmail.com

Тарасьев Александр Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: tam@imm.uran.ru

English

A. L. Bagno, A. M. Taras’ev. Discrete approximation of the Hamilton–Jacobi equation for the value function in an optimal control problem with infinite horizon.

An infinite horizon optimal control problem is considered in which the quality functional contains an index with discount factor under the integral sign. The main feature of the problem is the unbounded index, which allows to analyze economic growth models with linear, power, and logarithmic utility functions. A discrete approximation of the Hamilton–Jacobi equation is explored for constructing the value function of the original problem. The Holder condition and the sublinear growth condition are derived for the solution of the discrete approximation equation. Uniform convergence of solutions of approximation equations to the value function of the optimal control problem is shown. The obtained results can be used to construct grid approximation methods for the value function of an optimal control problem on an infinite time interval. The proposed methods are effective tools in the modeling of economic growth processes.

Keywords: discrete approximation, optimal control, Hamilton–Jacobi equation, viscosity solution, infinite horizon, value function.

The paper was received by the Editorial Office on Dezember 1, 2017.

Aleksandr Leonidovich Bagno, doctoral student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: bagno.alexander@gmail.com.

Aleksandr MIkhailovich Taras’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: tam@imm.uran.ru.