В.П. Максимов. Об одном классе задач оптимального управления для функционально-дифференциальных систем ... С. 131-142

УДК 517.929

MSC: 34H05, 34K10, 34K34, 34K35

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-131-142

Рассматривается линейная функционально-дифференциальная система управления с последействием общего вида. Исследуется задача оптимального управления с линейными ограничениями на фазовые и управляющие переменные. Управления реализуются линейным оператором общего вида. Охватываются случаи распределенного и сосредоточенного запаздывания в цепи управления, а также случай импульсных управляющих воздействий. Систематическое использование матрицы Коши позволяет свести исходную задачу к задаче, описываемой только в терминах управляющих переменных с участием вспомогательных переменных, связанных с определяющими соотношениями для матрицы Коши рассматриваемой системы. В случае, когда для управления используются только элементы конечномерного подпространства пространства управляющий воздействий, в явном виде записывается задача, допускающая эффективное решение стандартными программными средствами. Приводится пример прикладной задачи оптимального управления, возникающей в экономической динамике. Дается описание гибридных систем (систем с непрерывным и дискретным временем), допускающих сведение к рассмотренному классу систем.

Ключевые слова: линейные системы, управление, оптимизация.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М.: ЛИБРОКОМ, 2011. 272 с. ISBN: 978-5-397-01746-6 .

2. Kolmanovski$\breve \imath$ V.B., Scha$\breve \imath$khet L.E. Control of systems with aftereffect. N Y: AMS, 1996. 336 p. (Trans. Math. Monographs; vol. 157.) ISBN: 0-8218-0374-3 .

3. Шевченко Г.В. Численный метод решения задачи минимизации расхода ресурсов для линейных систем с постоянным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2014. № 10. С. 25–38.

4. Шевченко Г.В. Численное решение задачи оптимального быстродействия для линейных систем с постоянным запаздыванием // Вестн. Удмурт. ун-та. 2012. № 2. С. 100–105. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

5. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное дискретно-импульсное управление линейными системами // Автоматика и телемеханика. 2008. № 3. С. 103–125.

6. Короткий Д.А. Решение задачи оптимального управления для систем с запаздыванием // Вестн. Удмурт. ун-та. 2008. № 2. С. 61–62. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

7. Габасов Р., Грушевич О.П., Кириллова Ф.М. Оптимальное управление линейными системами с запаздыванием с учетом терминальных ограничений на их состояния // Автоматика и телемеханика. 2007. № 12. С. 3–20.

8. Максимов В.П. Некоторые вопросы теории управления функционально-дифференциальными системами // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2015. Т. 46, № 2. С. 112–119.

9. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 c.

10. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 384 c.

11. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L. F. Introduction to the theory of functional differential equations: methods and applications. N Y; Cairo: Hindawi Publ. Corporation, 2007. 314 p. ISBN: 977-5945-49-6/hbk .

12. Анохин A.В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, № 5. С. 1037–1040.

13. Kurzweil Ja. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter // Czechoslovak Math. J. 1957. No. 7. P. 418–449.

14. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

15. Schwabik  S. Generalized ordinary differential equations. Singapore:World Scientific, 1992. 392 p. ISBN: 978-981-4505-04-8 .

16. Ashordia M. On the stability of solutions of the multipoint boundary value problem for the system of generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys. 1995. Vol. 6. P. 1–57.

17. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. 1993. Т. 37, № 5. С. 56–71.

18. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 4. С. 601–606.

19. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, Изд-во Прикам. социал. ин-та, Изд-во Перм. современ. социал.-гуманит. колледжа, 2003. 306 c.

20. Максимов В.П. Один вариант принципа максимума для линейных систем с последействием // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2015. Т. 20, № 5. C. 1284–1286.

21. Максимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Экономика. 2011. № 2. С. 13–23.

22. Chadov A. L., Maksimov V.P. Linear boundary value problems and control problems for a class of functional differential equations with continuous and discrete times // Funct. Differ. Equ. 2012. Vol. 19, no. 1–2. P. 49–62.

23. Андрианов Д.Л. Краевые задачи и задачи управления для линейный разностных систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. Т. 37, № 5. С. 3–16.

Поступила 28.08.2017

Максимов Владимир Петрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Пермский государственный национальный исследовательский университет,
г. Пермь
e-mail: maksimov@econ.psu.ru

English

V. P. Maksimov. On a class of optimal control problems for functional differential systems.

A linear functional differential control system of general form with aftereffect is considered. An optimal control problem with linear constraints on the state and control variables is studied. The control is realized by a linear operator of general form. The cases of distributed and lumped delay in the control loop, as well as the case of impulsive control, are covered. The Cauchy matrix is used to reduce the problem under consideration to a problem formulated only in terms of control variables with the use of some auxiliary variables linked with the defining relations for the Cauchy matrix of the system. In the case when the control is chosen from a finitedimensional subspace of the control space, a problem effectively solvable by standard software tools is written explicitly. An example of an applied optimal control problem that arises in economic dynamics is presented. A class of hybrid systems (systems with continuous and discrete times) reducible to the system under consideration
is described.

Keywords: linear systems, control, optimization.

The paper was received by the Editorial Office on August 28, 2017.

Vladimir Petrovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Perm State University, Perm, 614990
Russia, e-mail: maksimov@econ.psu.ru .