В.И. Максимов. К проблеме реконструкции входа нелинейной системы с постоянным запаздыванием ... С. 121-130

УДК 517.977

MSC: 49J35, 91A24, 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-121-130

Работа подготовлена при поддержке программы президиума РАН №30 “Теория и технологии многоуровневого децентрализованного группового управления в условиях конфликта и кооперации”.

Исследуется задача восстановления неизвестных входных воздействий на систему, описываемую векторным нелинейным дифференциальным уравнением с постоянным запаздыванием. Заранее как входное воздействие, так и решение (траектория) системы неизвестны. В ходе функционирования системы в дискретные моменты времени измеряются текущие фазовые состояния. Эти измерения, вообще говоря, неточны. Требуется указать правило приближенного восстановления входа, обладающее свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений вырабатываются в реальном времени, свойство устойчивости - что приближения сколь угодно близки при достаточной точности наблюдений. В статье указывается алгоритм решения указанной задачи, позволяющий синхронно с развитием процесса осуществлять восстановление неизвестных воздействий. Алгоритм устойчив к информационным помехам и погрешностям вычислений. В основе предлагаемого алгоритма лежит метод управляемых по принципу обратной связи моделей.

Ключевые слова: системы с запаздыванием, динамическое восстановление, метод управляемых моделей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

2. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2011. 292 c.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. I. М.: МЦНМО, 2011. 620 с.

5. Максимов В.И. Метод функций Ляпунова в задачах реконструкции входов систем с последействием // Соврем. математика и ее приложения. 2005. Т. 26. С. 78–95.

6. Близорукова М.С. О моделировании входа в системе с запаздыванием // Прикл. математика и информатика: сб. Тр. факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова / М.: МАКС Пресс, 2000. № 28. C. 105–115.

7. Васильева Е.В. Динамический метод невязки для дифференциального уравнения с памятью // Проблемы мат. физики: сб. Тр. факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова / М.: Диалог-МГУ, 1998. C. 68–74.

8. Кадиев А.М., Максимов В.И. О реконструкции управлений в параболическом уравнении // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1545–1552.

9. Maksimov V., Pandolfi L. On a dynamical identification of controls in nonlinear time-lag system // IMA J. Math. Control Inform. 2002. Vol. 19, no. 1/2. doi: 10.1093/imamci/19.1_and_2.173 . P. 173–184.

10. Карреl F., Maksimov V. I., Skuratov E.N. On dynamical reconstruction of control in a system with time delay. Finite-dimensional models // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2001. Vol. 9, no. 3. P. 269–282. doi: 10.1515/jiip.2001.9.3.269 .

11. Максимов В.И. О применении конечномерных управляемых моделей к задаче реконструкции входа в линейной системе с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 196–204.

12. Banks H.T., Bihari K. L. Modeling and estimating uncertainty in parameter estimation // Inverse Probl. 2001. Vol. 17, no. 1. P. 1–17. doi: 10.1088/0266-5611/17/1/308 .

13. Banks H.T., Bortz D.M. Inverse problems for a class of measure dependent dynamical systems // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2005. Vol. 13, no. 1. P. 103–121. doi: 10.1515/1569394053978515 .

14. Banks H.T., Rehm K., Sutton K. Inverse problems for nonlinear delay systems // Methods Appl. Anal. 2010. Vol. 17, no. 3. P. 331–356. doi: 10.4310/MAA.2010.v17.n4.a2 .

15. Кряжимский А.В., Максимов В.И. Аппроксимация линейных дифференциально-разностных игр // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, № 2. С. 202–209.

16. Максимов В.И. Аппроксимация нелинейных дифференциально-разностных игр // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1979. Вып. 30. С. 49–65.

17. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А. Р. Об аппроксимации нелинейных конфликтно-управляемых систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20,№ 4. C. 204–217.

Поступила 10.09.2017

Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: maksimov@imm.uran.ru

English

V. I. Maksimov. On the problem of input reconstruction in a nonlinear system with constant delay.

We study the problem of reconstructing an unknown input acting on a system described by a nonlinear vector differential equation with constant delay. Both the input and the solution (trajectory) of the system are unknown. During the operation of the system, its phase states are measured at discrete times. The measurements, in general, are inaccurate. It is required to give a dynamic stable rule for the approximate reconstruction of the input, which means that the approximate values must be found in real time and the approximations must be arbitrarily accurate for sufficiently exact observations. For the solution of this problem, we propose an algorithm based on the method of models with feedback control. The algorithm reconstructs the unknown input simultaneously with the process. The algorithm is stable with respect to information noises and computational errors.

Keywords: delay systems, dynamic reconstruction, method of controlled models.

The paper was received by Editorial Office on September 10, 2017.

Maksimov V.I. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural
Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University,
Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru .