В.А. Белоногов. Конечные группы с четырьмя классами сопряженных максимальных подгрупп. I ... С. 52-62

УДК: 512.54

MSC: 20D05, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-52-62

Работа выполнена при финансовой поддержке Комплексной программы "Современные проблемы алгебры и комбинаторики" (госбюджетный проект 0387-2015-0060).

Изучаются конечные группы, имеющие точно 4 класса сопряженных максимальных подгрупп. Группы с этим свойством названы $4M$-группами. В статье доказаны две теоремы. В теореме 1 приводится полный список конечных простых $4M$-групп. В этом списке, кроме некоторых линейных и унитарных групп, содержатся также группы Судзуки над полем порядка $2^r$, где $r$ - простое число ($r>2$). В теореме 2 дано описание конечных неразрешимых $4M$-групп, не имеющих нормальных максимальных подгрупп. Таким образом, в статье описаны конечные неразрешимые $4M$-группы, совпадающие со своим коммутантом. При этом существенно используются ранние результаты автора о строении конечных групп, имеющих точно 3 класса сопряженных максимальных подгрупп и результаты Г. Паздерского о строении конечных групп, имеющих точно 2 класса сопряженных максимальных подгрупп.

Ключевые слова: конечная группа, простая группа, максимальная подгруппа.

Список литературы

1.   Pazderski G. $\ddot{U}$ber maximal Untergruppen endlicher gruppen // Math. Nachr. 1964. Vol. 26, no. 6. P. 307-319.

2.   Белоногов В.А. Конечные группы с тремя классами максимальных подгрупп // Мат. сб. 1986. Т. 131, № 2. С. 225-239.

3.   Холл М. Теория групп. М.: Изд. иностр. лит. 1962. 468 p.

4.   Gorenstein D. Finite groups.  N. Y.: Harper & Row, 1968. 527 p.

5.   Huppert B. Endliche Gruppen. I.  Berlin: Springer, 1967. 793 S. doi:10.1007/978-3-642-64981-3.

6.   Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norten, R.A. Parker, R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press., 1985. 252 p.

7.   Belonogov V. Finite groups with four classes of conjugate maximal subgroups // Groups and Graphs, Metrics and Manifolds : Intern. Conf. and PhD-Master Summer School (Yekaterinburg, July 22-30, 2017): Abstracts. Yekaterinburg, 2017. P. 40. SBN:978-5-8295-0529-5.

8.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R.  The classification of the finite simple groups.  N. Y.: Amer. Math. Soc., 1994, 165 p. (Math. Surveys and Monographs; vol. 40, no. 1.) ISBN: 0821803344.

9.   Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. The classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups // J. Algebra. 1987. Vol. 111, no. 2. P. 365-383. doi:10.1016/0021-8693(87)90223-7.

10.   Wilson R. A. The finite simple groups. London: Springer, 2009. 298 p. doi:10.1007/978-1-84800-988-2.

11.   Carter R. W. Simple groups of Lie type.  London: John Willey and Sons. 1972. 331 p. ISBN: 0471137359.

12.   Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. Москва: Мир, 1985. 352 с.

13.   King O.  The subgroup structure of finite classical groups interms of geometric configurations // Surveys in Combinatorics. 2005. P. 29-56. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 327.) doi:10.1017/CBO9780511734885.003.

14.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups // Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser., 407.) ISBN: 9780521138604.

15.   Suzuki M.  On a class of doubly transitive groups // Ann. of Math. 1962. Vol. 75. P. 105-145.

16.   Левчук В.М., Нужин Я.Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика. 1985. 24, № 1. С. 26-41.

17.   Liebeck M. W., Saxl J., Seitz G. M.  Subgroups of maximal rank in finite exceptional groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. (3). 1992. Vol. 65, no. 2. P. 297-325.

Поступила 01.09.2017

Белоногов Вячеслав Александрович 
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: belonogov@imm.uran.ru

English

V.A. Belonogov. Finite simple groups with four conjugacy classes of maximal subgroups. I.

We study the finite simple groups with exactly four conjugacy classes of maximal subgroups. The groups with this property are called $4M$-groups. We prove two theorems. Theorem 1 gives a complete list of finite simple $4M$-groups, which contains some linear and unitary groups as well Suzuki groups over the field of order $2^r$, where $r$ is a prime ($r>2$). In Theorem 2 we describe finite nonsolvable $4M$-groups without normal maximal subgroups. Thus, the paper gives a description of finite nonsolvable $4M$-groups that coincide with their commutator group. This study uses the author's earlier results on the structure of finite groups with exactly three conjugacy classes of maximal subgroups and Pazderski's results on the structure of finite groups with exactly two conjugacy classes of maximal subgroups.

Keywords: finite group, simple group, maximal subgroup.

The paper was received by the Editorial Office on September 1, 2017

Vyacheslav Aleksandrovich Belonogov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics
and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990
Russia, e-mail: belonogov@imm.uran.ru .