В.Г. Бардаков, М.В. Нещадим. Группы узлов и нильпотентная аппроксимируемость ... С. 43-51

УДК: 512.7

MSC: 57M25, 57M27, 20F14

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-43-51

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00414).

В данной работе изучаются группы классических зацеплений, зацеплений со спайками, виртуальных зацеплений. Во-первых, для классических кос доказывается, что коса и ее автоморфный образ слабо эквивалентны. Отсюда следует положительный ответ о совпадении группы, построенной по косе и ее автоморфному образу. Далее в работе изучается проблема аппроксимируемости групп виртуальных узлов нильпотентными группами. Известно, что в группе классического узла коммутант совпадает с третьим членом нижнего центрального рядом, а потому факторизация по членам нижнего центрального ряда ничего не дает. В работе доказано, что для виртуальных узлов ситуация другая. Построен нетривиальный гомоморфизм группы виртуального трилистника на нильпотентную группу ступени нильпотентности четыре. Используя конструкцию Магнуса представления свободной группы степенными рядами, строится гомоморфизм группы виртуального трилистника в некоторую конечномерную алгебру. Это приводит к нетривиальному линейному представлению группы виртуального трилистника унитреугольными матрицами порядка восемь.

Ключевые слова: виртуальные узлы, зацепления, группы.

Список литературы

1.   Dyer J., Grossman E. The automorphism groups of the braid groups // Amer. J. Math. 1981. Vol. 103, no. 6. P. 1151-1169. doi:10.2307/2374228.

2.   Kauffman L.H. Virtual knot theory // Eur. J. Comb. 1999. Vol. 20, no. 7. P. 663-690. doi:10.1006/eujc.1999.0314.

3.   Bardakov V.G. Virtual and welded links and their invariants [e-resource] // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2005. Vol. 2. P. 196-199.

4.   Manturov V.O. On the recognition of virtual braids // Zap. Nauchn. Sem. S. Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. POMI. (Geom. i Topol. 8). 2003. Vol. 299. P. 267-286 (in Russian).

5.   Carter J.S., Silver D., Williams S. Invariants of links in thickened surfaces // Algebr. Geom. Topol. 2014. Vol. 14, no. 3. P. 1377-1394. doi:10.2140/agt.2014.14.1377.

6.   Bardakov V.G., Mikhalchishina Yu.A., Neshchadim M.V. Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot groups // J. Knot Theory Ramifications. 2017. Vol. 26, no. 1. 1750003. 17 p. doi:10.1142/S0218216517500031.

7.   Bardakov V.G., Bellingeri P. Groups of virtual and welded links // J. Knot Theory Ramifications. 2014. Vol. 23, no. 3. 1450014. 23 p. doi: 10.1142/S021821651450014X.

8.   Бардаков В.Г., Михайлов Р.В. Об аппроксимационных свойствах групп зацеплений // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 3. C. 485-495. doi:10.1007/s11202-007-0042-0.

9.   Lyndon R.C., Schupp P.E. Combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag, 1977. 339 p. ISBN: 3-540-07642-5.

10.   Fenn R., Rimanyi R., Rourke C. The braid-permutation group // Topology. 1997. Vol.36, no. 1. P. 123-135. doi:10.1016/0040-9383(95)00072-0.

11.   McCool J. On basis-conjugating automorphisms of free groups // Can. J. Math. 1986. Vol. 38, no. 6. P. 1525-1529. doi:10.4153/CJM-1986-073-3.

12.   Birman J.S. Braids, links, and mapping class groups. Princeton: Princeton University Press, 1974. 228 p. (Annals of Math. Studies; vol.82). ISBN: 0691081492.

13.   Марков А.А. Основы алгебраической теории кос // Тр. МИАН. 1945. Т. 16. С. 1-54.

14.   Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп / Институт математики СО РАН. 14-е изд. Новосибирск, 1999. 134 c.

Поступила 15.06.2017

Бардаков Валерий Георгиевич 
д-р физ.-мат. наук, доцент
ведущий науч. сотрудник
Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева,
Новосибирский государственный университет,
Новосибирский государственный аграрный университет,
г. Новосибирск
e-mail: bardakov@math.nsc.ru

Нещадим Михаил Владимирович
д-р физ.-мат. наук, доцент
ведущий науч. сотрудник
Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева,
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск
e-mail: neshch@math.nsc.ru

English

V.G. Bardakov, M.V. Neshchadim. Knot groups and nilpotent approximability.

We study groups of classical links, welded links, and virtual links. For classical braids, it is proved that a braid and its automorphic image are weakly equivalent. This implies the affirmative answer to the question of the coincidence of the groups constructed from a braid and from its automorphic image. We also study the problem of approximability of groups of virtual knots by nilpotent groups. It is known that in a classical knot group the commutator subgroup coincides with the third term of the lower central series, and hence the factorization by the terms of the lower central series yields nothing. We prove that the situation is different for virtual knots. A nontrivial homomorphism of the virtual trefoil group to a nilpotent group of class 4 is constructed. We use the Magnus representation of a free group by power series to construct a homomorphism of the virtual trefoil group to a finite-dimensional algebra. This produces the nontrivial linear representation of the virtual trefoil group by unitriangular matrices of order 8.

Keywords: virtual knots, links, groups.

The paper was received by the Editorial Office on June 21, 2017.

Valeriy Georgievich Bardakov, Dr. Phys.-Math. Sci., docent,
Sobolev Institute of Mathematics,  Novosibirsk, 630090 Russian;
Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russian;
Novosibirsk State Agrarian University, Novosibirsk, 630039 Russian,
email: bardakov@math.nsc.ru

Mikhail Vladimirovich Neshchadim, Dr. Phys.-Math. Sci., docent,
Sobolev Institute of Mathematics,  Novosibirsk, 630090 Russian;
Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russian,
email:neshch@math.nsc.ru