Ю.С. Белоусов, А.В. Малютин. Простые дуги в плоских кривых и в диаграммах узлов ... С. 63-76

УДК: 515.162.8

MSC: 57M25, 57M99

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-63-76

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-01-00128 А.

В настоящей работе изучаются простые дуги в плоских кривых и в минимальных диаграммах классических узлов. Обозначив через $\operatorname{cr}(K)$ число перекрестков узла $K$, основные результаты статьи можно сформулировать следующим образом:  1) В каждой минимальной диаграмме произвольного узла $K$ найдется простая дуга, проходящая через $\min\{\operatorname{cr}(K),6\}$ перекрестков.  2) У любого узла $K$, за исключением четырех простых узлов $8_{16}$, $8_{18}$, $9_{40}$ и $10_{120}$ в нумерации Рольфсена, найдется минимальная диаграмма, содержащая простую дугу, проходящую через $\min\{\operatorname{cr}(K),8\}$ перекрестков. Первое утверждение доказывается с использованием техники комбинаторики слов. Мы вводим новый язык для плоских кривых и их хордовых диаграмм. Символы этого языка отвечают длинам хорд. В результате утверждение сводится к вопросу из теории полноты и избегаемости множеств запрещенных слов: мы описываем множество запрещенных слов и доказываем, что язык, слова которого не содержат запрещенных подслов, конечен. Для доказательства второго факта использовались методы алгоритмической топологии: утверждение теоремы сводится к перебору кривых специального вида, после чего описывается компьютерный алгоритм, осуществляющий перебор, и приводится результат его работы.

Ключевые слова: узел, минимальная диаграмма узла, число перекрестков, флайп, плоская кривая, комбинаторика слов, алгоритмическая топология.

Список литературы

1.   Дужин С.В. Комбинаторные аспекты теории инвариантов Васильева: дис. д-р физ.-мат. наук / С.-Петербургское отд. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова РАН. Санкт-Петербург, 2011. 167 с.

2.   Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 455 с.

3.   Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т.2. Деревья, производящие функции и симметрические функции: Пер. с англ. М.: Мир, 2009. 767 с.

4.   Adams C.C. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. N. Y.: W. H. Freeman, 1994. 306 p.

5.   Belousov Yu.S., Malyutin A.V. Estimates on the semi-meandric crossing number of classical knots // Abstracts of The International Conference "Polynomial Computer Algebra". 2017. P. 21-23. ISBN: 978-5-9651-1057-5.

6.   Belousov Yu.S. Program for processing Gaussian codes and codes for pre-diagrams [e-resource]. 2017. URL: https://github.com/YuryBelousov/curves.

7.   Burde G., Zieschang H. Knots. 2nd ed. Berlin: Walter de Gruyter \& Co., 2003. 559 p. (de Gruyter Studies in Mathematics; vol. 5.) ISBN: 3-11-017005-1.

8.   Hilton P.J., Pedersen J. Catalan numbers, their generalization, and their uses // Math. Intelligencer. 1991. Vol. 13, no. 2. P. 64-75. doi:10.1007/BF03024089.

9.   Hopcroft J.E., Ullman J.D. Introduction to automata theory, languages, and computation. Boston: Addison-Wesley Publ. Co., 1979. 418 p. ISBN: 020102988X.

10.   Kauffman L.H. State models and the Jones polynomial // Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. P. 395-407. doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7.

11.   Menasco W. Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements // Topology. 1984. Vol. 23, no. 1. P. 37-44. doi:10.1016/0040-9383(84)90023-5.

12.   Menasco W., Thistlethwaite M. The Tait flyping conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 25, no. 2. P. 403-412. doi:10.1090/S0273-0979-1991-16083-0.

13.   Menasco W., Thistlethwaite M. The classification of alternating links // Ann. Math. 1993. Vol. 138, no. 1. P. 113-171. doi:10.2307/2946636.

14.   Murasugi K. The Jones polynomial and classical conjectures in knot theory // Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. P. 187-194. doi:10.1016/0040-9383(87)90058-9.

15.   Radovic L., Jablan S. Meander knots and links // Filomat. 2015. Vol. 29, no. 10. P. 2381-2392. doi:10.2298/FIL1510381R.

16.   Rolfsen D. Knots and links. Berkeley, Calif.: Publish or Perish Press, 1976. 439 p. ISBN: 0-914098-16-0.

17.   Thistlethwaite M.B. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. P. 297-309. doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6.

Поступила 30.09.2017

Белоусов Юрий Станиславович 
студент
Санкт-Петербургский государственный университет,
г. Санкт-Петербург
e-mail: bus99@yandex.ru

Малютин Андрей Валерьевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН,
Санкт-Петербургский государственный университет,
г. Санкт-Петербург
e-mail: malyutin@pdmi.ras.ru

English

Yu. S.Belousov, A.V.Malyutin. Simple arcs in plane curves and knot diagrams.

We study simple arcs in plane curves and in minimal diagrams of classical knots. The main results of the paper are as follows. (1) In each minimal diagram of an arbitrary knot $K$, there exists a simple arc passing through $\min\{\operatorname{cr}(K), 6\}$ crossings, where cr$(K)$ denotes the crossing number of $K$. (2) For any knot $K$ except for the four simple knots $8_{16}$, $8_{18}$, $9_{40}$, and $10_{120}$ in the notation of the Rolfsen table, there is a minimal diagram with a simple arc passing through $\min\{\operatorname{cr}(K),8\}$ crossings. The first claim is proved using the techniques of combinatorics on words. We introduce a new language for plane curves and their chord diagrams; the symbols of this language correspond to the lengths of the chords. As a result, the statement is reduced to a question in the theory of completeness and avoidability of sets of forbidden patterns: we describe a set of forbidden patterns and prove that the language with no words containing forbidden patterns is finite. To prove the second claim, methods of algorithmic topology are used: the statement reduces to a brute-force search for curves of a special type and then a computer algorithm is described that performs the search; we presents the results of its operation.

Keywords: knot, minimal knot diagram, crossing number, flype, plane curve, combinatorics on words, algorithmic topology.

The paper was received by the Editorial Office on September 30, 2017.

Yurii Stanislavovich Belousov, student, St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034
Russia, e-mail: bus99@yandex.ru .

Andrei Valer’evich Malyutin, Dr. Phys.-Math. Sci., St. Petersburg Department of Steklov Institute
of Mathematics of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, 191023 Russia, St. Petersburg
State University, St. Petersburg, 199034 Russia, e-mail: malyutin@pdmi.ras.ru .