Е.А. Сбродова, В.В. Таркаев, Е.А. Фоминых, Е.В. Шумакова. Виртуальные трехмерные многообразия сложности 1 и 2 ... С. 257-264

УДК: 515.162

MSC: 57N10, 57M27

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-257-264

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00609).

В 2009 г. С.В. Матвеев ввел понятие виртуального трехмерного многообразия, обобщающее понятие классического трехмерного многообразия. Виртуальное многообразие есть класс эквивалентности так называемых специальных полиэдров. Каждое виртуальное многообразие определяет трехмерное многообразие с непустым краем и $\mathbb{R}P^2$-особенностями. Многие инварианты многообразий, например, инварианты Тураева - Виро, допускают продолжение на множество виртуальных многообразий. Cложность виртуального трехмерного многообразия равна $k$, если его класс эквивалентности содержит специальный полиэдр с $k$ истинными вершинами и не содержит специальных полиэдров с меньшим числом истинных вершин. В данной работе приводится полный список виртуальных многообразий сложности $1$ и даны двусторонние оценки на число виртуальных многообразий сложности $2$. Вопрос о полной классификации виртуальных многообразий сложности $2$ по-прежнему остается открытым.

Ключевые слова: виртуальные трехмерные многообразия, классификация, сложность.

Список литературы

1.   Matveev S.V. Virtual 3-manifolds // Сиб. электрон. мат. изв. 2009. Т. 6. С. 518-521.

2.   Веснин А.Ю., Тураев В.Г., Фоминых Е.А. Сложность виртуальных трехмерных многообразий // Мат. сб. 2016. Т. 207, № 11. С. 4-24. doi: 10.4213/sm8700.

3.   Matveev S. Algorithmic topology and classification of 3-manifolds. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. 2007. 492 p. (Algorithms and Computation in Mathematics; vol.9.) doi: 10.1007/978-3-540-45899-9.

4.   Turaev V.G., Viro O.Y. State sum invariants of $3$-manifolds and quantum $6j$-symbols // Topology. 1992. Vol. 31, iss.4. P. 865-902. doi:10.1016/0040-9383(92)90015-A.

5.   Burton B. The pachner graph and the simplification of 3-sphere triangulations // Proc. of the Twenty-Seventh Annual Symposium on Computational Geometry (SCG'11). N.Y.: ACM, 2011. P.153-162. doi: 10.1145/1998196.1998220.

6.   Atlas of 3-Manifolds [site]: A free software 3-manifold recognizer. URL: http://matlas.math.csu.ru / (дата обращения: 15.09.2017).

7.   Culler M., Dunfield N., Goerner M., Weeks J. SnapPy, a computer program for studying the geometry and topology of $3$-manifolds [e-resource]. URL: http://snappy.computop.org/ (дата обращения: 15.09.2017).

8.   Fujii M. Hyperbolic $3$-manifolds with totally geodesic boundary which are decomposed into hyperbolic truncated tetrahedra // Tokyo J. Math. 1990. Vol.13, iss.2. P.353-373. doi:10.3836/tjm/1270132267.

9.   Callahan P., Hildebrand M., Weeks J. A census of cusped hyperbolic $3$-manifolds // Mathematics of Computation. 1999. Vol. 68, iss. 225. P. 321-332. doi:10.1090/S0025-5718-99-01036-4.

Поступила 30.09.2017

Сбродова Елена Александровна 
канд. физ.-мат. наук
декан
Челябинский государственный университет
e-mail: sbrodova@csu.ru

Таркаев Владимир Викторович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
старший науч. сотрудник
Челябинский государственный университет
e-mail: v.tarkaev@gmail.com

Фоминых Евгений Анатольевич
д-р физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
профессор
Челябинский государственный университет
e-mail: efominykh@gmail.com

Шумакова Екатерина Валерьевна
старший преподаватель
Челябинский государственный университет
e-mail: shumakova_kate@mail.ru

English

E.A. Sbrodova, V.V. Tarkaev, E.A. Fominykh, E.V. Shumakova. Virtual 3-manifolds of complexity 1 and 2.

Matveev in 2009 introduced the notion of virtual 3-manifold, which generalizes the classical notion of 3-manifold. A virtual manifold is an equivalence class of so-called special polyhedra. Each virtual manifold determines a 3-manifold with nonempty boundary and $\mathbb{R}P^2$-singularities. Many invariants of manifolds, such as Turaev-Viro invariants, can be extended to virtual manifolds. The complexity of a virtual 3-manifold is $k$ if its equivalence class contains a special polyhedron with $k$ true vertices and contains no special polyhedra with a smaller number of true vertices. In this paper we give a complete list of virtual 3-manifolds of complexity 1 and present two-sided bounds for the number of virtual 3-manifolds of complexity 2. The question of the complete classification for virtual 3-manifolds of complexity 2 remains open.

Keywords: virtual 3-manifold, classification, complexity.

The paper was received by the Editorial Office on September 30, 2017

Elena Aleksandrovna Sbrodova, Cand. Sci.(Phys.-Math.), Chelyabinsk State University, Chelyabinsk,
454001 Russia, e-mail: sbrodova@csu.ru .

Vladimir Viktorovich Tarkaev, Cand. Sci.(Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: v.tarkaev@gmail.com.

Evgeny Anatol’evich Fominykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics
and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: efominykh@gmail.com.

Ekaterina Valer’evna Shumakova, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia,
e-mail: shumakova_kate@mail.ru .