Н.Н. Субботина, Н.Г. Новоселова. Оптимальный результат в задаче управления системой с кусочно монотонной динамикой ... С. 265-280

УДК: 517.977

MSC: 47N05, 37N25, 37N40

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-265-280

Работа подготовлена при поддержке РФФИ (проект 17-01-00074) и программы Президиума РАН № 01 "Фундаментальная математика и ее приложения" (проект PRAS-18-01).

25 лет назад вышла первая в нашем журнале статья Нины Николаевны: Субботина Н.Н. Унифицированные условия оптимальности в задачах управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. C. 147-159.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления для детерминированной нелинейной системы с кусочно монотонной динамикой. Рассматриваемая математическая модель появляется при описании процесса химиотерапии злокачественной опухоли. Данные исследования позволяют изучить влияние характера немонотонности на структуру оптимального управления. В работе исследуется случай, когда функция терапии, описывающая влияние лекарства на скорость роста клеток, имеет два максимума. Приводятся сравнения с результатами для изученного ранее случая одного максимума у функции терапии в данной модели. Работа посвящена построению функции цены для рассматриваемой задачи оптимального управления. Как известно, функция цены является основой для построения оптимального синтеза, т.е. оптимальной позиционной стратегии терапии. Конструкция функции цены использует то, что она является единственным минимаксным (вязкостным) решением задачи Коши для основного уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана (ГЯБ). С помощью непрерывной склейки конечного числа гладких функций, построенных с помощью метода характеристик Коши для вспомогательных уравнений ГЯБ, конструируется непрерывная функция $\varphi$. Новым элементом конструкции является линия негладкой склейки с помощью условий Ранкина - Гюгонио. Эта линия играет ключевую роль для оптимальной стратегии управления, так как определяет линию ее разрыва. В работе приводится обоснование совпадения построенной функции $\varphi$ с минимаксным решением задачи Коши для основного уравнения ГЯБ.

Ключевые слова: оптимальное управление, линия Ранкина - Гюгонио, уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана, метод характеристик Коши.

Список литературы

1.   Чумерина Е.С. Cинтез оптимального управления в математических моделях химиотерапии опухоли, растущей по закону Гомперца и логистическому закону: дис. ... канд. физ.-мат. наук / МИИТ. Москва, 2009.

2.   Братусь А.С.,Чумерина Е.С. Cинтез оптимального управления в задаче выбора лекарственного воздействия на растущую опухоль // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, вып. 6. С. 946-966.

3.   Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1961. 392 с.

4.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

5.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

6.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка: Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. 336 p.

7.   Crandall, M.G., Evans, L.C., Lions, P.-L. Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 282., no 2. P. 487-502.

8.   Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка: уч. пос. Москва: Изд-во МГУ им. Ломоносова, 1999. 96 c.

9.   Метод характеристик для уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана / Н.Н. Субботина, Е.А. Колпакова, Т.Б. Токманцев, Л.Г. Шагалова. Екатеринбург: Изд-во РИО УрО РАН, 2013. 244 c.

Поступила 02.09.2017

Субботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург,
профессор
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru

Новоселова Наталья Геннадьевна
математик
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург,
магистрант
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург,
e-mail: n.g.novoselova@gmail.com

English

N.N. Subbotina, N.G. Novoselova. Optimal result in a control problem with piecewise monotone dynamics.

We consider an optimal control problem for a deterministic nonlinear system with piecewise monotone dynamics. The mathematical model under consideration describes the process of a chemotherapy treatment of a malignant tumor. The research makes it possible to analyze the influence of the type of nonmonotonicity on the structure of the optimal control. We consider the case when the therapy function, which describes the effect of the drug on the cell growth rate, has two maxima. Comparisons are made with the results for the previously studied case of a single maximum of the therapy function in this model. This paper is devoted to the construction of the value function for the optimal control problem under consideration. As is known, the value function is the basis for constructing an optimal synthesis, i.e., an optimal feedback strategy in the therapy. We use the fact that the value function is the unique minimax (viscosity) solution of the Cauchy problem for the basic Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. By means of the continuous gluing of a finite number of smooth functions obtained by the Cauchy method of characteristics for auxiliary HJB equations, a continuous function $\varphi$ is constructed. A new element of the construction is the line of nonsmooth gluing with the use of the Rankin-Hugoniot conditions. This line plays a key role for the optimal feedback strategy, because it determines its discontinuity line. We prove that the constructed function $\varphi$ coincides with the minimax solution of the Cauchy problem for the basic HJB equation.

Keywords: optimal control, Rankine-Hugoniot line, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, Cauchy method of characteristics.

The paper was received by the Editorial Office on September 2, 2017

Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii
Institute ofMathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg,
620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: subb@uran.ru .

Natal’ja Gennad’evna Novoselova, graduate student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,
Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural
Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: n.g.novoselova@gmail.com.