УДК: 512.542
MSC: 20D15, 20F12, 20F17
DOI : 10.21538/0134-4889-2017-23-4-253-256
Полная версия статьи
Через $|x|$ обозначим порядок элемента $x$ в группе. Примарным называют элемент группы, порядок которого есть целая неотрицательная степень некоторого простого числа. Если $a$ и $b$ - примарные элементы взаимно простых порядков группы, то коммутатор $a^{-1}b^{-1}ab$ называется $\star$-коммутатором. Пересечение всех нормальных подгрупп группы, фактор-группы по которым нильпотентны, называется нильпотентным корадикалом группы. Устанавливается, что нильпотентный корадикал конечной группы порождается коммутаторами примарных элементов взаимно простых порядков. Доказывается, что нильпотентный корадикал конечной разрешимой группы нильпотентен тогда и только тогда, когда $|ab|\ge |a||b|$ для любых $\star$-коммутаторов $a$ и $b$ взаимно простых порядков.
Ключевые слова: конечная группа, формация, корадикал, нильпотентная группа, коммутатор.
Список литературы
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin etc.: Springer, 1967. 793 s.
2. Бастон Р., Шумяцкий П. Достаточное условие нильпотентности коммутанта // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 978-980.
3. Monakhov V.S. The nilpotency criterion for the derived subgroup of a finite group // Проблемы физики, математики и техники. 2017, № 3(32). P. 58-60.
4. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. T. 31. P. 366-372.
5. Монахов В.С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса. Секция 1. 2001. Киев: Изд-во Института математики, 2002. P. 81-90.
6. Чунихин С.А. О специальных группах // Мат. сб. 1929. T. 4, № 3. P. 512-530.
7. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin, N. Y.: Walter de Gruyter, 1992. 891 p. ISBN: 978-3-11-087013-8.
8. Beidleman J., Heineken H. Minimal non-$\mathfrak F$-groups // Ricerche Mat. 2009. Vol. 58. P. 33-41.
Поступила 30.08.2017
Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры алгебры и геометрии
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
e-mail: victor.monakhov@gmail.com
English
V.S. Monakhov. A metanilpotency criterion for a finite solvable group.
Denote by $|x|$ the order of an element $x$ of a group. An element of a group is called primary if its order is a nonnegative integer power of a prime. If $a$ and $b$ are primary elements of coprime orders of a group, then the commutator $a^{-1}b^{-1}ab$ is called a $\star$-commutator. The intersection of all normal subgroups of a group such that the quotient groups by them are nilpotent is called the nilpotent residual of the group. It is established that the nilpotent residual of a finite group is generated by commutators of primary elements of coprime orders. It is proved that the nilpotent residual of a finite solvable group is nilpotent if and only if $|ab|\ge|a||b|$ for any $\star$-commutators of $a$ and $b$ of coprime orders.
Keywords: finite group, formation, residual, nilpotent group, commutator.
The paper was received by the Editorial Office on August 30, 2017
Viktor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University,
Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: victor.monakhov@gmail.com.
