А.Д. Медных, И. А. Медных, Р. Неделя. О теоремах Оикавы и Аракавы для графов ... С. 243-252

УДК 519.177+517.545

MSC: 05C10, 57M12

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-243-252

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 15-01-07906 и 16-31-00138). Исследования Р. Недели частично поддержаны проектом L01506 Министерства Образования, Молодежи и Спорта Чешской Республики и проектом P202/12/G061 Чешского Научного Фонда.

Настоящая  статья посвящена дальнейшему развитию  дискретной теории римановых поверхностей, начатой в начале века в работах М. Бейкера и С. Норина и их последователей. Аналогами римановых поверхностей в этой теории выступают конечные графы, а роль голоморфных  отображений играют их разветвленные накрытия. Родом графа назовем ранг его фундаментальной группы. Главным объектом исследования статьи являются группы автоморфизмов графов, действующие без неподвижных точек на множестве полуребер  графа. Они представляют из себя дискретные аналоги групп конформных автоморфизмов римановой поверхности. Знаменитая теорема Гурвица (1893) утверждает, что компактная риманова поверхность рода $g>1$ не может иметь более чем $84(g-1)$  автоморфизмов.  Полученные позже теоремы К. Оикавы и Т. Аракавы  уточняют эту оценку для групп, оставляющих инвариантными несколько конечных подмножеств заданной мощности. Основное содержание этой публикации состоит в доказательстве дискретных версий указанных теорем. Получен также дискретный аналог теоремы Э. Буханансе и Г. Громадски, улучшающей один из результов  Аракавы.

Ключевые слова:  риманова поверхность, формула  Римана-Гурвица, граф, группа автоморфизмов, гармоническое отображение.

Список литературы

1.   Baker M., Norine S. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs // Int. Math. Res. Notes. 2009. Vol. 15. P. 2914–2955. doi: 10.1093/imrn/rnp037 .

2.   Corry S. Genus bounds for harmonic group actions on finite graphs // Int. Math. Res. Not. 2011. Vol. 19. P. 4515–4533. doi: 10.1093/imrn/rnq261 .

3.   Mednykh A.D. On the Riemann–Hurwitz formula for graph coverings [e-resource]. 2015. 8 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1505.00321.pdf .

4.   Медных А.Д., Неделя Р. Гармонические отображения графов и теорема Римана — Гурвица // Докл. АН. 2016. Т. 466, № 2. С. 144–147. doi: 10.7868/S0869565216020079 .

5.   Hurwitz A. Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich // Math. Ann. 1893. Vol. 41. P. 403–442.

6.   Медных И.А. О теоремах Фаркаша и Акколы для графов // Докл. АН. 2013. Т. 448, № 4. С. 387–391. doi: 10.7868/S0869565213040063 .

7.   Медных И.А. Дискретные аналоги теорем Фаркаша и Акколы о гиперэллиптичности накрытий над римановой поверхностью рода два // Мат. заметки. 2014. Т. 96, № 1. С. 69–81.
doi: 10.4213/mzm9381 .

8.   Limonov M.P. Non-regular graph coverings and lifting the hyperelliptic involution // Siberian Elect. Math. Rep. 2015. Vol. 12. P. 372–380. doi: 10.17377/semi.2015.12.031 .

9.   Limonov M.P. Accola theorem on hyperelliptic graphs // Ars Mathematica Contemporanea. 2016. Vol. 11, iss. 1. P. 91–99.

10.   Mednykh A., Mednykh I. On Wiman’s theorem for graphs // Discrete Math. 2015. Vol. 338. P. 1793–1800. doi: 10.1016/j.clineuro.2015.03.003 .

11.   Oikawa K. Note on conformal mapping of a Riemann surface onto itself // Kodai Math. Sem. Rep. 1956. Vol. 8. P. 23–30.

12.   Arakawa T. Automorphism groups of compact Riemann surfaces with invariant subsets // Osaka J. Math. 2000. Vol. 37. P. 823–846.

13.   Bujalance E., Gromadzki G. On automorphisms Of Klein surfaces with invariant subsets // Osaka J. Math. 2013. Vol. 50. P. 251–269.

14.   Медных А.Д., Медных И.А., Неделя Р. О некоторых обобщениях теоремы Гурвица для групп, действующих на графe // Докл. АН. 2015. Т. 460, № 5. С. 520–524. doi: 10.7868/S0869565215050072 .

15.   Malnic A., Nedela, R., Skoviera M. Lifting graph automorphisms by voltage assignments // European J. Combin. 2000. Vol. 21, iss. 7. P. 927–947. doi: 10.1006/eujc.2000.0390 .

Поступила 14.06.2017

Медных Александр Дмитриевич 
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. лабораторией
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
г. Новосибирск
e-mail: smedn@mail.ru

Медных Илья Александрович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
г. Новосибирск,
e-mail: ilyamednykh@mail.ru

Роман Неделя
д-р естественных наук, профессор
Университет Восточной Богемии, факультет прикладных наук,
ул. Университетская 8, Пилзень, Чешская Республика,
Университет Матея Бела, ул. Таховского 40, Банька Быстрица, Словакия,
e-mail: roman.nedela@umb.sk; nedela@ntis.zcu.cz; nedela@savbb.sk

English

A. D. Mednykh, I. A. Mednykh, R. Nedelya. On the Oikawa and Arakawa theorems for graphs.

The present paper is devoted to the further development of the discrete theory of Riemann surfaces, which was started in the papers by M. Baker and S. Norine at the beginning of the century. This theory considers finite graphs as analogs of compact Riemann surfaces and branched coverings of graphs as holomorphic maps. The genus of a graph is defined as the rank of its fundamental group. The main object of investigation in the paper is automorphism groups of a graph acting freely on the set of arcs. These groups are discrete analogs of groups of conformal automorphisms of a Riemann surface. The celebrated Hurwitz theorem (1893) states that the order of the group of conformal automorphisms of a compact Riemann surface of genus $g>1$ does not exceed $84(g-1)$. Later, K. Oikawa and T. Arakawa refined this bound in the case of groups that fix several finite sets of prescribed cardinalities. This paper provides proofs of discrete versions of the mentioned theorems. In addition, a graph-theoretic version of the E. Bujalance and G. Gromadzki result improving the Arakawa theorem is obtained.

Keywords: Riemann surface, Riemann-Hurwitz formula, graph, automorphism group, harmonic map.

The paper was received by the Editorial Office on June 14, 2017.

Aleksandr Dmitrievich Mednykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosbirsk, 630090 Russia,
e-mail: smedn@mail.ru

Il’ya Aleksandrovich Mednykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosbirsk, 630090 Russia,
e-mail: ilyamednykh@mail.ru

Roman Nedela, Dr. Sci., Prof. RNDr., University of West Bohemia, NTIS FAV, Universitni 8, Pilsen, Czech Republic, Matej Bel University, Tajovskeho 40, Banska Bystrica, Slovakia,
e-mail: roman.nedela@umb.sk; nedela@ntis.zcu.cz; nedela@savbb.sk