А.А. Махнев, Д. В. Падучих, М.М. Хамгокова. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1305,440,115,165) ... C. 232-242

УДК: 519.17+512.54

MSC: 05C25

DOI:10.21538/0134-4889-2017-23-4-232-242

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ, проект 15-11-10025 (теорема), а также соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.A03.21.0006 (следствие).

Граф $\varGamma$ называется $t$-изорегулярным, если для  любого $i\le t$ и любого $i$-вершинного подмножества $S$ число $\lvert {\varGamma(S)}\rvert$ зависит только от изоморфного типа подграфа,  индуцированного $S$. Граф $\varGamma$ на $v$ вершинах называется  абсолютно изорегулярным, если он является  $(v-1)$-изорегулярным. Известно, что каждый  $5$-изорегулярный граф является абсолютно изорегулярным, и такие  графы полностью описаны. Каждый точно $4$-изорегулярный граф  является псевдогеометрическим графом для pG$_r(2r,2r^3+3r^2-1)$ или  дополнительным графом к нему. Через Izo($r$) обозначим псевдогеометрический  граф  для                             pG$_r(2r,2r^3+3r^2-1)$. Для бесконечного множества значений $r$ ($r=3,4,6,10,\ldots$) графы Izo($r$) не существуют. Существование Izo($5$)  неизвестно. В данной работе найдены возможные автоморфизмы окрестности ребра  из Izo($5$).

Ключевые слова: изорегулярный граф, сильно регулярный граф, псевдогеометрический граф.

Список литературы

1.   Cameron P., Van Lint J. Designs, graphs, codes and their links. ISBN: 0521423856 .

2.   Bannai E., Munemasa A., Venkov B. The nonexistence of certain tight spherical designs // Algebra and Analis. 2004. Vol. 16, no. 4. P. 1–23.

3.   Nebe G., Venkov B. On tight spherical designs // Algebra and Analis. 2012. Vol. 24, no. 3. P. 163–171.

4.   Makhnev A.A. On nonexistence of strongly regular graphs with parameters (486,165,36,66) // Ukrainskii Mat. Zh. 2002. V. 54, № 7. P. 941–949.

5.   Махнев А.А., Хамгокова М.М. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (532,156,30,52) // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 930–939.

6.   Brouwer A.E., Haemers W.H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // European J. Combin. 1993. Vol. 14, no. 3. P. 397–407.

7.   Cameron P.J. Permutation Groups Cambridge: Cambridge University Press. 1999. 220 p. doi: 10.1017/CBO9780511623677 .

8.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56,45,1;1,9,56} // Докл. РАН. 2010. Т. 432, № 5. С. 583–587.

9.   MacKay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra Appl. 2010. Vol. 432, no. 9. P. 2381–2398. doi: 10.1016/j.laa.2009.07.018 .

10.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 24.04.2017

Махнев Александр Алексеевич 
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН,
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Падучих Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук,
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
e-mail: dpaduchikh@gmail.com

Хамгокова Мадина Мухадиновна
канд. физ.-мат. наук,
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
e-mail: hamgokova.madina@yandex.ru

English

A.A. Makhnev, D.V. Paduchikh, and M.M. Khamgokova. Automorphisms of strongly regular graphs with parameters (1305,440,115,165).

A graph $\varGamma$ is called $t$-isoregular if, for any $i\le t$ and any $i$-vertex subset $S$, the number $\lvert {\varGamma(S)}\rvert$ depends only on the isomorphism class of the subgraph induced by $S$. A graph $\varGamma$ on $v$ vertices is called absolutely isoregular if it is $(v-1)$-isoregular. It is known that each $5$-isoregular graph is absolutely isoregular, and such graphs have been fully described. Each exactly $4$-isoregular graph is either a pseudogeometric graph for pG$_r(2r,2r^3+3r^2-1)$ or its complement. By Izo($r$) we denote a pseudogeometric graph for pG$_r(2r,2r^3+3r^2-1)$. Graphs Izo($r$) do not exist for a infinite set of values of $r$ ($r=3,4,6,10,\ldots$). The existence of Izo($5$) is unknown. In this work we find possible automorphisms for the neighborhood of an edge from Izo($5$).

Keywords: isoregular graph, strongly regular graph, pseudogeometric graph.

The paper was received by the Editorial Office on April 24, 2017.

A.A. Makhnev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

D.V. Paduchikh, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: dpaduchikh@gmail.com

M.M. Hamgokova, Kand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: hamgokova.madina@yandex.ru