Е.А. Коновальчик, К.В. Костоусов. Симметрические 2-расширения 2-мерной решетки. II ... С. 192-211

УДК: 512.54 +519.17

MSC: 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-192-211

Работа выполнена при поддержке молодежного гранта ИММ УрО РАН за 2013 год.

Исследование симметрических $q$-расширений $d$-мерной кубической решетки $\Lambda^{d}$ представляет интерес для теории групп и теории графов. Для небольших $d\geq 1$ и $q>1$ (особенно для $q=2$) исследование cимметрических $q$-расширений решетки $\Lambda^{d}$ актуально также в связи с молекулярной кристаллографией и некоторыми физическими теориями. Ранее в работе В.И. Трофимова доказана конечность числа симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^d$ для произвольного целого положительного $d$. Настоящая статья представляет собой вторую и завершающую часть работы, посвященной описанию всех, с точностью до эквивалентности, реализаций симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^2$ (мы доказываем, что имеются 162 такие реализации). В опубликованной ранее первой части нашей работы были перечислены все, с точностью до эквивалентности, реализации симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^2$, такие что лишь единичный их автоморфизм оставляет на месте все блоки системы импримитивности (87 реализаций). В настоящей второй части работы перечисляются остальные реализации симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^2$.

Ключевые слова: симметрическое расширение графа, $d$-мерная решетка.

Список литературы

1.   Trofimov V.I. Symmetrical extensions of graphs and some other topics in graph theory related with group theory // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 316-320.

2.   Неганова Е.А., Трофимов В.И. Симметрические расширения графов// Изв. РАН. Cер. математическая. 2014. Т. 78, № 4. С. 175-206.

3.   Трофимов В.И. Конечность числа симметрических 2-расширений $d$-мерной решетки и сходных с ней графов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 290-303.

4.   Трофимов В.И. Несколько замечаний о симметрических расширениях графов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 2. С. 284-293.

5.   Коновальчик Е.А., Костоусов К.В. Симметрические 2-расширения 2-мерной решетки. I // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 159-179.

6.   GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra. Ver. 4.5.7: [e-resource]. 2012. URL: http://www.gap-system.org.

7.   Bettina Eick, Franz Gahler, Werner Nickel. GAP package Cryst - Computing with crystallographic groupsCryst. Ver. 4.1: [e-resource]. 2013. URL: https://www.gap-system.org/Packages/cryst.html.

8.   Bettina Eick, Max Horn, Werner Nickel. GAP package Polycyclic. Ver. 2.11: [e-resource]. 2013. URL: https://www.gap-system.org/Packages/polycyclic.html.

Поступила 12.01.2017

Коновальчик Елена Александровна 
канд. физ.-мат. наук
науч. сотрудник Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
старший преподаватель кафедры высшей математики ФГБОУ ВО
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова,
г. Магнитогорск
e-mail: nega-le@yandex.ru

Костоусов Кирилл Викторович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
kkostousov@gmail.com

English

E.A. Konoval’chik, K.V. Kostousov. Symmetrical 2-extensions of the 2-dimensional grid. II.

The investigation of symmetrical $q$-extensions of a $d$-dimensional cubic grid $\Lambda^{d}$ is of interest both for group theory and for graph theory. For small $d\geq 1$ and $q>1$ (especially for $q=2$), symmetrical $q$-extensions of $\Lambda^{d}$ are of interest for molecular crystallography and some phisycal theories. Earlier V. Trofimov proved that there are only finitely many symmetrical 2-extensions of $\Lambda^{d}$ for any positive integer $d$. This paper is the second and concluding part of our work devoted to the description of all, up to equivalence, realizations of symmetrical 2-extensions of $\Lambda^{2}$ (we show that there are 162 such realizations). In the first part of our work, which was published earlier, we found all, up to equivalence, realizations of symmetrical 2-extensions of $\Lambda^{2}$ such that only the trivial automorphism fixes all blocks of the imprimitivity system (87 realizations). In the present paper, we find the remaining realizations of symmetrical 2-extensions of $\Lambda^{2}$.

Keywords: symmetrical extension of a graph, $d$-dimensional grid.

The paper was received by the Editorial Office on November 12, 2016

Elena Aleksandrovna Konoval’chik, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics
and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, 455000 Russia,
e-mail: asmi@imm.uran.ru .

Kirill Viktorovich Kostousov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: asmi@imm.uran.ru .