Ф.Г. Кораблёв. Квазоиды в теории узлов ... С. 212-221

УДК: 515.162.8

MSC: 57M25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-212-221

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-01-00690).

Статья посвящена определению и построению примеров квазоидов - алгебраических объектов, каждый из которых порождает инвариант ориентированных узлов и зацеплений. Этот инвариант может быть выражен в терминах числа правильных раскрасок областей, на которые диаграмма узла разбивает двумерную сферу. Правильность раскраски элементами множества $X$ означает, что в окрестности каждой двойной точки диаграммы цвета всех четырёх областей согласованы посредством функции $Q\colon X\times X\times X\to X$. Такая функция $Q$ называется квазоидом над множеством $X$. В статье строятся примеры двух бесконечных серий квазоидов. Первую серию образуют линейные квазоиды над конечными кольцами. Вторая серия состоит из квазоидов, порожденных конечными биквазилями. Инварианты узлов и зацеплений, порождаемые квазоидами, нетривиальны и могут быть использованы для различения узлов. В статье показывается, что все узлы и зацепления, допускающие диаграммы с не более, чем шестью двойными точками, различаются линейными квазоидами над $\mathbb{Z}_n$, где $n\leqslant 11$. Приводятся результаты компьютерного перебора всех различных квазоидов над множествами, мощность которых не превосходит 4.

Ключевые слова: узел, квазоид, биквазиль, инвариант.

Список литературы

1.   Fenn R., Jordan-Santana M, Kauffman L. Biquandles and virtual links // Topology Appl. 2004. Vol. 145, no. 1-3. P. 157-175.

2.   Needell D., Nelson S. Biquasiles and dual graph diagrams // J. Knot Theory Ramifications. 2017. Vol. 26, no. 8. 1750048. 18 p. doi: 10.1142/S0218216517500481.

3.   Polyak M. Minimal generating sets of Reidemeister moves // Quantum Topology. 2010. Vol. 1, no. 4. P. 399-411. doi: 10.4171/QT/10.

4.   Yang Z. Regional knot invariants // J. Knot Theory Ramifications. 2017. Vol. 26, no. 6. 1742006. doi: 10.1142/S0218216517420068.

5.   Alexander J. W. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. Vol. 30, no. 2. P. 275-306.

6.   Knot Allas [site]. URL: http://katlas.org/wiki/Main_Page.

Поступила 31.08.2017

Кораблёв Филипп Глебович 
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры
Челябинский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: korablev@csu.ru

English

F.G. Korablev. Quazoids in knot theory.

This paper is devoted to the definition and construction of quazoids, which are algebraic objects generating invariants of oriented knots and links. Such an invariant can be described in the terms of the number of proper colorings of the regions into which the diagram of a knot decomposes a 2-sphere. A coloring by elements of a set $X$ is proper if the color diagrams of all four regions are matched by means of a function $Q\colon X\times X\times X\to X$ in the neighborhood of each double point. This function is called a quazoid over the set $X$. In the paper we construct two infinite series of quazoids. The first series is formed by linear quazoids over finite rings. The second series consists of quazoids generated by finite biquasiles. The invariants of knots and links generated by quazoids are nontrivial and can be used to distinguish knots. We show that all knots and links admitting diagrams with at most six double points are distinguished by linear quazoids over $\mathbb{Z}_n$, where $n\leqslant 11$.

We give results of the computer enumeration of all different quazoids over sets whose cardinality does not exceed 4.

Keywords: knot, quazoid, biquasile, invariant.

The paper was received by the Editorial Office on August 31, 2017

Filipp Glebovich Korablev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: korablev@csu.ru