Ю.Ф. Долгий, Р.И. Шевченко. Дискретное операторное уравнение Рикатти в задаче оптимальной стабилизации периодической линейной системы с последействием ... С. 105-118

УДК: 517.927

MSC: 34K06, 34K20, 34K35, 93C23, 93C57

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-105-118

Для периодических линейных систем дифференциальных уравнений с последействием задача оптимальной стабилизации описывается в функциональном пространстве. Используется процедура сужения класса допустимых управлений. Допустимые управления формируются по принципу обратной связи в функциональном пространстве состояний. Предполагается кусочно-постоянная периодическая зависимость управлений от времени. Точки разрыва не зависят от выбора состояний. Построена эквивалентная дискретная задача оптимальной стабилизации в функциональном пространстве. Решение неавтономного дискретного операторного уравнения Риккати определяет оптимальное стабилизирующее управление. Дискретная задача стабилизации автономна, если последовательность точек разрыва управлений периодична. Найдено представление решения автономного дискретного операторного уравнения Риккати. Для коэффициентов этого представления получена система интегральных уравнений. Выводится формула, определяющая оптимальное стабилизирующее управление в дискретной задаче.

Ключевые слова: периодическая линейная система с последействием, оптимальная стабилизация, дискретное операторное уравнение Риккати.

Список литературы

1.   Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика 1962. Т. 26. Вып.1. С. 39-51.

2.   Красовский Н.Н. Об оптимальном регулировании в линейных системах с запаздыванием времени // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 2. С. 295-302.

3.   Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 410 с.

4.   Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 48-88. doi:10.1137/0313004.

5.   Kushner H.J, Barnea D.I. On the control of a linear functional-differential equation with qvadratic cost // SIAM J. Control. 1970. Vol. 8, no. 2. Р. 257-272. doi:10.1137/0308019.

6.   Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control Optimiz. 1983. Vol. 21, no. 5. P. 95-135. doi:10.1137/0321006.

7.   Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: СОЛОН-Пресс, 2017. 447 p.

8.   Долгий Ю.Ф. Точные решения задачи оптимальной стабилизации для систем дифференциальных уравнений с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 124-135.

9.   Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 716-724.

10.   Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, № 5. С. 605-618.

11.   Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 38-47.

12.   Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1963. № 6. С. 3-15.

13.   Долгий Ю.Ф., Кошкин Е.В. Использование конечномерных аппроксимаций в задаче стабилизации периодических систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 29-45.

14.   Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 656 p.

15.   Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1985. 336 p.

16.   Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче асимптотической устойчивости периодической системы с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 1. С. 85-96.

Поступила 25.10.2017

Долгий Юрий Филиппович 
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
Уральский федеральный университет им. Первого президента России Б.Н.Ельцина
e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru

Шевченко Роман Иванович
аспирант
Уральский федеральный университет
e-mail: oma170@hotmail.com

English

Yu.F. Dolgii, R. I. Shevchenko. Discrete operator Riccati equation in an optimal stabilization problem for a periodic linear system with aftereffect.

An optimal stabilization problem for linear periodic systems of differential equations with aftereffect is described in a function space. A procedure that narrows the class of admissible controls is used. Admissible feedback controls are formed in the function state space. We assume a piecewise constant periodic dependence of the controls on time. The breakpoints are independent of the choice of the states. An equivalent discrete problem of optimal stabilization in a function space is constructed. The solution of the nonautonomous discrete operator Riccati equation determines an optimal stabilizing control. The discrete stabilization problem is autonomous if the sequence of breakpoints of the controls is periodic. A representation of solutions of the autonomous discrete operator Riccati equation is found. A system of integral equations is obtained for the coefficients of this representation. A formula for the optimal stabilizing control in the discrete problem is derived.

Keywords: periodic linear system with aftereffect, optimal stabilization, discrete operator Riccati equation.

The paper was received by the Editorial Office on October 25, 2017

Yurii Filippovich Dolgii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural
Federal University, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru .

Roman Ivanovich Shevchenko, doctoral student, Ural Federal University, Ekaterinburg, 620002
Russia, e-mail: oma170@hotmail.com.