О.Ю. Дашкова, М.А. Салим, О.А. Шпырко. О структуре финитарной линейной группы ... С. 98-104

УДК: 512.544

MSC: 20F50

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-98-104

Пусть $FL_{\nu}(K)$ - финитарная линейная группа степени $\nu$ над кольцом $K$, где $K$ - ассоциативное кольцо с единицей. В работе изучаются периодические подгруппы группы $FL_{\nu}(K)$ в случаях, когда $K$ - целостное кольцо (теорема 1) и коммутативное нетерово кольцо (теорема 2). В этих случаях доказано, что периодические подгруппы группы $FL_{\nu}(K)$ локально конечны, и описана их нормальная структура. В теореме 3 описано нормальное строение конечно порожденных разрешимых подгрупп группы $FL_{\nu}(K)$ в случаях, когда $K$ - целостное кольцо, коммутативное нетерово кольцо и произвольное коммутативное кольцо. Показано, в последнем случае эта структура является наиболее сложной.

Ключевые слова: финитарная линейная группа, коммутативное нетерово кольцо, локально конечная группа.

Список литературы

1.   Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Otal J. On the structure of some infinite dimensional linear groups // Comm. Algebra. 2017. Vol. 45, no. 1. P. 234-246. doi:10.1080/00927872.2016.1175593.

2.   Kurdachenko L.A., Munoz-Escolano J.M., Otal J. Antifinitary linear groups // Forum Math. 2008. Vol. 20, no. 1. P. 27-44. doi:10.1515/FORUM.2008.002.

3.   Kurdachenko L.A., Munoz-Escolano J.M., Otal J. Locally nilpotent linear groups with the weak chain conditions on subgroups of infinite central dimension // Publ. Mat. 2008. Vol. 52, no. 1. P. 151-169.

4.   Dashkova O.Yu., Dixon M.R., Kurdachenko L.A. Linear groups with rank restrictions on the subgroups of infinite central dimension // J. Pure Appl. Algebra. 2007. Vol.208, no. 3. P. 785-795. doi: 10.1016/j.jpaa.2006.04.002.

5.   Dixon M.R., Evans M.J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of infinite central dimension // J. Algebra. 2004. Vol.277, no. 1. P.172-186. doi: 10.1016/j.jalgebra.2004.02.029.

6.   Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite central dimension // Publ. Mat. 2006. Vol. 50, no. 1. P. 103-131.

7.   Дашкова О.Ю. Разрешимые бесконечномерные линейные группы с ограничениями на неабелевы подгруппы бесконечных рангов // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 6. С. 1280-1295.

8.   Дашкова О.Ю. Бесконечномерные линейные группы с ограничениями на подгруппы, не являющиеся разрешимыми $A_3$-группами // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 5. С. 548-559.

9.   Дашкова О.Ю. Локально разрешимые бесконечномерные линейные группы с ограничениями на неабелевы подгруппы бесконечных рангов // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 5. С. 601-616.

10.   Мерзляков Ю.И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонормализуемости // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 6. С. 732-735.

11.   Левчук В.М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 5. С. 631-641.

12.   Wehrfritz B.A.F. Infinite linear groups. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1973. 229 p. ISBN: 3-540-06132-0.

13.   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва: Наука, 1972. 240 с.

14.   Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. 648 с.

Поступила 20.09.2017

Дашкова Ольга Юрьевна 
д-р физ.-мат. наук, профессор
Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,
г. Севастополь
e-mail: odashkova@yandex.ru

Мохамед Ахмед Салим
д-р физ.-мат. наук, профессор
Университет Объединенных Арабских Эмиратов,
г. Аль-Аин
e-mail: MSalim@uaeu.ac.ae

Шпырко Ольга Алексеевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,
г. Севастополь
e-mail: shpyrko@mail.ru

English

O.Yu. Dashkova, M.A. Salim, O.A. Shpyrko. On the structure of a finitary linear group.

Let $FL_{\nu}(K)$ be a finitary linear group of degree $\nu$ over a ring $K$, and let $K$ be an associative ring with the unit. We study periodic subgroups of $FL_{\nu}(K)$ in the cases when $K$ is an integral ring (Theorem 1) and a commutative Noetherian ring (Theorem 2). In both cases we prove that the periodic subgroups of $FL_{\nu}(K)$ are locally finite and describe their normal structure. In Theorem 3 we describe the structure of finitely generated solvable subgroups of $FL_{\nu}(K)$ if $K$ is an integral ring, a commutative Noetherian ring, or an arbitrary commutative ring. We show that this structure is most complicated in the latter case.

Keywords: finitary linear group, commutative Noetherian ring, locally finite group.

The paper was received by the Editorial Office on September  20, 2017

Olga Yurievna Dashkova, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., the Branch of Moscow State University named
after M.V. Lomonosov in Sevastopol, 299001 Russia, e-mail: odashkova@yandex.ru .

Mohamed Ahmed Salim, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., United Arab Emirates University, Al-Ain,
15551 United Arab Emirates, e-mail: MSalim@uaeu.ac.ae .

Olga Alekseevna Shpyrko, Cand. Phys.-Math. Sci, Associate Prof., the Branch of Moscow State
University named after M.V. Lomonosov in Sevastopol, 299001 Russia, e-mail: shpyrko@mail.ru .