К.С. Ефимов. Автоморфизмы AT4(4,4,2)-графа и отвечающих ему сильно регулярных графов ... С. 119-127

УДК: 519.17

MSC: 05B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-119-127

Полная версия статьи

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ, проект 14-11-00061-П (теорема 3 и следствие) и соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.A03.21.0006 (теоремы 1 и 2).

А.А. Махнев, Д.В. Падучих и М.М. Хамгокова классифицировали дистанционно регулярные локально $GQ(5,3)$-графы. В частности, возникает $AT4(4,4,2)$-граф с массивом пересечений $\{96,75,16,1;1,16,75,96\}$ на $644$ вершинах. Эти же авторы доказали, что $AT4(4,4,2)$-граф не является локально $GQ(5,3)$-графом. Однако существование $AT4(4,4,2)$-графа, являющегося локально псевдо $GQ(5,3)$-графом неизвестно. Антиподальное частное $AT4(4,4,2)$-графа является сильно регулярным графом с параметрами $(322,96,20,32)$. Оба этих графа являются локально псевдо $GQ(5,3)$-графами. В работе найдены возможные автоморфизмы указанных графов. Оказалось, что группа автоморфизмов дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{96,75,16,1;1,16,75,96\}$ действует интранзитивно на множестве его антиподальных классов.

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа.

Список литературы

1.   Махнев А.А., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально $GQ(5,3)$-графах // Докл. АН. 2010. Т. 435, № 6. C. 744-747.

2.   Jurisic A., Koolen J. Classification of the family $AT4(qs,q,q)$ of antipodal tight graphs // J. Comb. Theory 2011. V. 118, № 3. P. 842-852.

3.   Махнев А.А., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О локально $GQ(5,3)$-графах // Тез. докл. Международной конф. "Алгебра и комбинаторика", посвященной 60-летию А.А. Махнева, Екатеринбург 2013. C. 64-66.

4.   Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of Graphs. NY: Springer, 2012. P. 1-20. doi: 10.1007/978-1-4614-1939-6_1 .

5.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs. Part of the Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete book series (MATHE3, vol.18). Berlin: Springer, 1989. P. 391-412. doi: 10.1007/978-3-642-74341-2_13 .

6.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{56,45,1;1,9,56\}$ // Докл. АН. 2010. Т. 432, № 5. С. 512-515.

7.   MacKay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra and its Applications. 2010. Vol. 432.  P. 2381–2398.

8.   Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311, no. 2-3. P. 132-144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005 .

9.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1-12. 

Поступила 01.09.2017

Ефимов Константин Сергеевич

к-т физ.-мат. наук

Уральский федеральный университет

Уральский государственный экономический университет

Ин-т математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

e-mail: konstantin.s.efimov@gmail.com

English

K.S. Efimov. Automorphisms of an $AT4(4,4,2)$-graph and of the corresponding strongly regular graphs.

A.A. Makhnev, D.V. Paduchikh, and M.M. Khamgokova gave a classification of distance-regular locally $GQ(5,3)$-graphs. In particular, there arises an $AT4(4,4,2)$-graph with intersection array $\{96,75,16,1;1,16,75,96\}$ on $644$ vertices. The same authors proved that an $AT4(4,4,2)$-graph is not a locally $GQ(5,3)$-graph. However, the existence of an $AT4(4,4,2)$-graph that is a locally pseudo $GQ(5,3)$-graph is unknown. The antipodal quotient of an $AT4(4,4,2)$-graph is a strongly regular graph with parameters $(322,96,20,32)$. These two graphs are locally pseudo $GQ(5,3)$-graphs. We find their possible automorphisms. It turns out that the automorphism group of a distance-regular graph with intersection array $\{96,75,16,1;1,16,75,96\}$ acts intransitively on the set of its antipodal classes.

Keywords: distance-regular graph, graph automorphism.

The paper was received by the Editorial Office on September 1, 2017

Konstantin Sergeevich Yefimov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia;
Ural State University of Economics, 620144 Russia;
Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,
Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
e-mail: konstantin.s.efimov@gmail.com