УДК 514.85+531.36
MSC: 53Z05, 70G60, 34M55
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-53-67
Рассматривается динамика голономных механических систем с геометрическими особенностями конфигурационного пространства, такими как точки ветвления. Классические методы вывода уравнений движения неприменимы в окрестности особых точек, где нет обобщенных координат. Предложен новый метод анализа динамики систем с особенностями. Некоторые голономные (жесткие) связи заменяются на упругие (пружины). В результате особенность исчезает, но увеличивается число степеней свободы системы. При неограниченном возрастании жесткости пружины траектория системы с упругими связями должна все меньше отклоняться от конфигурационного пространства для исходной системы с голономными связями. Выдвинута гипотеза о движении механической системы, конфигурационное пространство которой может быть представлено как объединение двух гладких многообразий. Предельный переход для жесткости пружины рассматривается на конкретном примере. Для этого строится сингулярный маятник с пружиной. Данную механическую систему с двумя степенями можно явно параметризовать, что упрощает ее аналитическое и численное моделирование. В численных экспериментах движение системы согласовывается с гипотезой.
Ключевые слова: реализация связей, реакции связей, многообразия с особенностями, особая точка, голономная связь, множители Лагранжа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пенлеве П. Лекции о трении / пер. с франц. Москва: Гостехиздат, 1954. 316 с.
2. Mukharlyamov R.G., Deressa C.T. Dynamic equations of controlled Mechanical system with redundant holonomic constraints // Vestn. Kazan. Tekhnol. Univ. 2014. Vol. 17, no. 11. P. 236–242.
3. Wojtyra M., Frączek J. Solvability of reactions in rigid multibody systems with redundant nonholonomic constraints // Multibody Syst Dyn. 2013. Vol. 30. P. 153–171. doi: 10.1007/s11044-013-9352-0
4. Flores P., Pereira R., Machado M., Seabra E. Investigation on the Baumgarte stabilization method for dynamic analysis of constrained multibody systems // Proc. 2nd Eur. Conf. on Mechanism Science (EUCOMES 08), Cassino, Italy, Sept. 17–20, 2008 (Springer-Verlag, Dordrecht, 2009). P. 305–312. doi: 10.1007/978-1-4020-8915-2_37
5. Журавлёв В.Ф. Понятие связи в аналитической механике // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 4. С. 853–860.
6. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Москва: ВИНИТИ, 1985. 304 с.
7. Rubin H., Ungar P. Motion under a strong constraining force // Communications on pure and applied mathematics. 1957. Vol. 10. P. 65–87. doi: 10.1002/CPA.3160100103
8. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54, № 5. С. 858–861.
9. Takens F. Motion under influence of a strong constraining force // Global theory of Dynamics Systems. Berlin: Springer-Verlag. 1980. P. 425–445. doi: 10.1007/BFb0087006
10. Карапетян А.В. О реализации неголономных связей и устойчивость кельтских камней // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45, № 1. С. 42–51.
11. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.С., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. Москва: Физматлит, 2005. 272 c. ISBN 978-5-9221-0576-7.
12. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П., Товстик П.Е., Солтаханов Ш.Х., Филиппов С.Б., Петрова В.И., Теоретическая и прикладная механика. В 2 т. Том I: Общие вопросы теоретической механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2022. 560 с. ISBN 978-5-288-06213-1 (общий). ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том).
13. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. Москва: Физматлит, 2001. 320 с. ISBN 5-94052-041-3 .
14. Бурьян С.Н. Особенности движения маятника с сингулярным конфигурационным пространством // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62), № 4. С. 541–551. doi: 10.21638/11701/spbu01.2017.402
15. Burian S.N., Kalnitsky V.S. On the motion of one-dimensional double pendulum // AIP Conf. Proc. 2018. Vol. 1959. Art. No. 030004. doi: 10.1063/1.5034584
16. Бурьян С.Н. Силы реакции сингулярного маятника // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67), № 2. С. 278–293. doi: 10.21638/spbu01.2022.209
Поступила 13.01.2024
После доработки 4.05.2024
Принята к публикации 6.05.2024
Бурьян Сергей Николаевич
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Государственный научно-исследовательский институт прикладных проблем
г. Санкт-Петербург
e-mail: burianserg@yandex.ru
Ссылка на статью: С.Н. Бурьян. Сильные связи в динамике систем с геометрическими особенностями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 53-67
English
S.N. Burian. Strong constraints in the dynamics of systems with geometric singularities
The dynamics of holonomic mechanical systems with geometric singularities of the configuration space, such as branch points, is considered. Classical methods for deriving equations of motion are not applicable in neighborhoods of singular points because there are no generalized coordinates. A new method for analyzing the dynamics of systems with singularities is proposed. Some holonomic (rigid) constraints are replaced by elastic ones (springs). As a result, the singularity disappears, but the number of degrees of freedom of the system increases. With an unlimited increase in spring stiffness, the trajectory of a system with elastic constraints should deviate less and less from the configuration space for the original system with holonomic constraints. A hypothesis has been put forward about the motion of a mechanical system whose configuration space could be represented as a union of two smooth manifolds. The limit transition for the spring stiffness is considered using a specific example. For this purpose, a singular pendulum with a spring is constructed. This two-degree mechanical system can be explicitly parameterized, which simplifies its analytical and numerical modeling. In numerical experiments, the motion of the system is consistent with the hypothesis.
Keywords: constraint realization, constraint reactions, manifolds with singularities, singular point, holonomic constraints, Lagrange multipliers
Received January 13, 2024
Revised May 4, 2024
Accepted May 6, 2024
Sergey Nikolaevich Burian, Cand. Sci (Phys.-Math.), State Research Institute of Applied Problems, St.Petersburg, 191167 Russia, e-mail: burianserg@yandex.ru
Cite this article as: S.N. Burian. Strong constraints in the dynamics of systems with geometric singularities. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 53–67.
[References -> on the "English" button bottom right]
