УДК 517.977.1
MSC: 49J15, 58E25, 92D25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-259-276
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
Для изучения взаимосвязей между концентрациями здоровых и раковых клеток при раковых заболеваниях крови применяется математическая модель конкуренции Лотки — Вольтерры. В эту модель добавляются слагаемые, содержащие управляющую функцию, которая задает концентрацию лекарственного препарата или интенсивность терапии, непосредственно убивающей раковые клетки. Рассматриваются два вида ограничений, накладываемых на такую управляющую функцию: ограничения снизу и сверху и ограничение только снизу. В результате возникает управляемая модель конкуренции Лотки — Вольтерры с двумя различными множествами допустимых управлений. Для таких управляемых моделей ставится задача минимизации Больца взвешенной разности концентраций раковых и здоровых клеток как в конечный момент времени заданного периода лечения, так и в течение всего этого периода. Для второго множества допустимых управлений интегральная часть целевой функции дополнительно содержит слагаемое, отражающее стоимость проводимого лечения. Использование принципа максимума Понтрягина позволяет аналитически изучить особенности оптимальных управлений в рассматриваемых задачах минимизации. Для первого множества допустимых управлений выделяются и подробно исследуются случаи, когда оптимальное управление является релейной функцией, а также случаи, когда наряду с релейными участками оно может содержать особые режимы. Установленные результаты подтверждаются соответствующими численными расчетами, выполненными для различных значений параметров и начальных значений управляемой модели конкуренции Лотки — Вольтерры.
Ключевые слова: модель конкуренции Лотки — Вольтерры, нелинейная управляемая система, задача минимизации Больца, принцип максимума Понтрягина, функция переключений, релейное управление, особый режим, индикаторная функция
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хайлов Е.Н., Григоренко Н.Л., Григорьева Э.В., Клименкова А.Д. Управляемые системы Лотки — Вольтерры в моделировании медико-биологических процессов. М.: МАКС Пресс, 2021. 204 c. doi: 10.29003/m2448.978-5-317-06681-9
2. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 c.
4. Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Boston: Birkhäuser, 1994. 244 p. doi: 10.1007/978-1-4612-2702-1
5. Schättler H., Ledzewicz U. Geometric optimal control: theory, methods and examples. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2012. 640 p. doi: 10.1007/978-1-4614-3834-2
6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Либроком, 2013. 256 c.
7. Schättler H., Ledzewicz U. Optimal control for mathematical models of cancer therapies: an application of geometric methods. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2015. 496 p. doi: 10.1007/978-1-4939-2972-6
8. Martcheva M. An introduction to mathematical epidemiology. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2015. 453 p. doi: 10.1007/978-1-4899-7612-3
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 c.
10. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 360 c.
11. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 c.
12. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. 318 c.
13. Cesari L. Optimization — theory and applications. NY: Springer-Verlag, 1983. 542 p.
14. Jung E., Lenhart S., Feng Z. Optimal control of treatments in a two-strain tuberculosis model // Discrete Cont. Dyn.-B. 2002. Vol. 2, no. 4. P. 473–482. doi: 10.3934/dcdsb.2002.2.473
15. Silva C.J., Torres D.F.M. Optimal control for a tuberculosis model with reinfection and post-exposure interventions // Math. Biosci. 2013. Vol. 244, no. 2. P. 154–164. doi: 10.1016/j.mbs.2013.05.005
16. Mateus J.P., Rebelo P., Rosa S., Silva C.M., Torres D.F.M. Optimal control of non-autonomous SEIRS models with vaccination and treatment // Discrete Cont. Dyn.-S. 2018. Vol. 11, no. 6. P. 1179–1199. doi: 10.3934/dcdss.2018067
17. Bonnans F., Martinon P., Giorgi D., Grélard V., Maindrault S., Tissot O., Liu J. BOCOP 2.2.1 — user guide [e-resource]. August 8, 2019. URL http://bocop.org
18. Хайлов Е.Н., Григорьева Э.В., Клименкова А.Д. Оптимальные протоколы комбинированного лечения для управляемой модели ракового заболевания крови // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. C. 222–240. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-222-240
Поступила 29.03.2024
После доработки 6.04.2024
Принята к публикации 8.04.2024
Хайлов Евгений Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
фак. ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
e-mail: khailov@cs.msu.su
Ссылка на статью: Е.Н. Хайлов. Задачи минимизации Больца для управляемой модели конкуренции Лотки — Вольтерры // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 259-276
English
E.N. Khailov. Bolza minimization problems for the Lotka–Volterra competition model
To study the relationship between the concentrations of healthy and cancer cells in blood cancers, the Lotka–Volterra competition mathematical model is used. Terms containing the control function that specifies the concentration of the drug or the intensity of the therapy that directly kills cancer cells are added to this model. Two types of restrictions imposed on such a control function are considered: lower and upper restrictions and only a lower restriction. The result is the control Lotka–Volterra competition model with two different sets of admissible controls. For such control models, the Bolza problem is to minimize the weighted difference in the concentrations of cancer and healthy cells both at the final time of a given treatment period and throughout this entire period. For the second set of admissible controls, the integral part of the objective function additionally contains a term reflecting the cost of the treatment being performed. The use of the Pontryagin maximum principle allows us to analytically study the features of optimal controls in the considered minimization problems. For the first set of admissible controls, cases are identified and studied in detail when the optimal control is a bang-bang function, as well as cases when, along with bang-bang portions, the control may contain singular regimens. The established results are confirmed by corresponding numerical calculations performed for various parameter values and initial values of the control Lotka–Volterra competition model.
Keywords: Lotka–Volterra competition model, nonlinear control system, Bolza minimization problem, Pontryagin maximum principle, switching function, bang-bang control, singular regimen, indicator function
Received March 29, 2024
Revised April 6, 2024
Accepted April 8, 2024
Funding Agency: This research was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within a program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (agreement no. 075-15-2022-284).
Evgenii Nikolaevich Khailov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov University, Moscow, 119992, Russia, e-mail: khailov@cs.msu.su
Cite this article as: E.N. Khailov. Bolza minimization problems for the Lotka–Volterra competition model. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 259–276.
[References -> on the "English" button bottom right]
