УДК 517.977
MSC: 60B05, 60B10, 28A50, 49J15, 49J35
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-277-299
Работа выполнена в рамках исследований Уральского математического центра при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2024-1377).
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S76–S98. (Abstract)
Для конфликтно управляемых динамических систем, удовлетворяющих условиям обобщенной единственности и равномерной ограниченности, изучается разрешимость задачи на минимакс в классе обобщенных управлений. Рассматриваются вопросы согласованности такого расширения, т. е. возможности аппроксимации обобщенных управлений в пространстве стратегических мер вложениями обычных управлений. С этой целью исследуется зависимость множества мер от общего маргинального распределения, заданного на одном из факторов базового пространства. Установлена непрерывность этой зависимости в метрике Хаусдорфа, заданной метрикой, отвечающей *-слабой топологии в пространстве мер. Также показана плотность вложений обычных управлений и пар управление-помеха в множества соответствующих обобщенных управлений в *-слабых топологиях.
Ключевые слова: обобщенные управления, стратегические меры, задача на минимакс, *-слабая сходимость, метрика Хаусдорфа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н. Н., Субботин A. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022. doi: 10.1016/0021-8928(70)90158-9
2. Красовский Н. Н., Субботин A. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 c.
3. Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, № 4. С. 779–782.
4. Hopenhayn H. Entry, exit, and firm dynamics in long run equilibrium // Econometrica. 1992. Vol. 60. P. 1127–1150.
5. Bergin J., Bernhardt D. Anonymous sequential games: Existence and characterization of equilibria // Economic Theory. 1995. Vol. 5. P. 461–489.
6. Bergin J. On the continuity of correspondence on sets of measures with restricted marginals // Economic Theory. 1999. Vol. 13. P. 471–481.
7. Богачев В. И., Попова С. Н. Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром // Мат. сб. 2024. Т. 215, № 1. С. 33–58.
8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
9. Warga J. Nonsmooth problems with conflicting controls // SIAM J. Control Optim. 1991. Vol. 29. P. 678–701.
10. Warga J., Zhu Q.J. A proper relaxation of Shiftedand Delayed Controls // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 169 P. 546–561.
11. Rosenblueth J. F. Proper relaxation of optimal control problems // J. Optim. Theory Appl. 1992. Vol. 74, no. 3. P. 509–526.
12. D. Serkov and A. Chentsov On a property of continuous dependence of sets in the space of measures // Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2022): 7 Intern. conf., Irkutsk, Russia, July 15–22, 2022: Proceedings. Irkutsk: ISDCT SB RAS, 2022. P. 106–107. ISBN: 9785604181423 .
13. Ченцов А.Г. Об одной игровой задаче управления на минимакс // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1975. № 1. С. 39–46.
14. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
15. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1. Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003. 545 с.
16. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962. 895 с.
17. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. 389 с.
18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.
19. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 2. Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003. 578 с.
20. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
21. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.
22. Dugundji J. An extension of Tietze’s theorem // Pacific J. Math. 1951. Vol. 1, no. 3. P. 353–367.
23. Ченцов А.Г. Максиминное уклонение в дифференциальной игре // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 5. С. 848–856.
24. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.
25. Constantin A. A uniqueness criterion for ordinary differential equations // J. Diff. Eq. 2023. Vol. 342, no. 5. P. 179–192. doi: 10.1016/j.jde.2022.09.035
Поступила 11.03.2024
После доработки 27.03.2024
Принята к публикации 1.04.2024
Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
член-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Институт радиоэлектроники и информационных технологий
Уральский федеральный университет
e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Серков Дмитрий Александрович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Институт радиоэлектроники и информационных технологий
Уральский федеральный университет
e-mail: serkov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.Г. Ченцов, Д.А. Серков. Непрерывная зависимость множеств в пространстве мер и задача на программный минимакс // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 277-299
English
A.G. Chentsov, D.A. Serkov. Continuous dependence of sets in a space of measures and a program minimax problem
For conflict-controlled dynamical systems satisfying the conditions of generalized uniqueness and uniform boundedness, the solvability of the minimax problem in the class of generalized controls is studied. The issues of consistency of such an extension are considered; i. e., the possibility of approximating generalized controls in the space of strategic measures by embeddings of ordinary controls is analyzed. For this purpose, the dependence of the set of measures on the general marginal distribution specified on one of the factors of the base space is studied. The continuity of this dependence in the Hausdorff metric defined by the metric corresponding to the *-weak topology in the space of measures is established. The density of embeddings of ordinary controls and control-noise pairs in sets of corresponding generalized controls in the *-weak topologies is also shown.
Keywords: generalized controls, strategic measures, minimax problem, *-weak convergence, Hausdorff metric
Received March 11, 2024
Revised March 27, 2024
Accepted April 1, 2024
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1377).
Aleksandr Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Dmitrii Aleksandrovich Serkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: serkov@imm.uran.ru
Cite this article as: A.G. Chentsov, D.A. Serkov. Continuous dependence of sets in a space of measures and a program minimax problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 277–299. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S76–S98.
[References -> on the "English" button bottom right]
