УДК 512.54
MSC: 20E25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-213-222
Исследования поддержаны Российским научным фондом, проект № 19-71-10017.
Найден ряд свойств периодических и смешанных групп с фробениусо-энгелевыми элементами (леммы разд. 2 и теорема 1). Полученные результаты используются для описания смешанных и периодических групп с конечными элементами, насыщенных конечными группами Фробениуса. Доказано, что бинарно конечная группа, насыщенная конечными группами Фробениуса, является группой Фробениуса c локально конечным дополнением (теорема 2). В теореме 3 установлено, что в насыщенной конечными группами Фробениуса примитивно бинарно конечной группе $G$ без инволюций характеристическая подгруппа $\Omega_1(G)$, порожденная всеми элементами простых порядков из $G$, является периодической группой Фробениуса с ядром $F$ и локально циклическим дополнением $H$. При этом любая максимальная периодическая подгруппа $T$ группы $G$ является группой Фробениуса с ядром $F$ и дополнением $T\cap N_G(H)$. Приведен ряд примеров периодических не локально конечных и смешанных групп, удовлетворяющих теореме 3.
Ключевые слова: группы Фробениуса, конечные, энгелевые, фробениусовые, фробениусо-энгелевы элементы, насыщенность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд. Москва: Наука, 1967. 648 с.
2. Созутов А.И. О группах, насыщенных конечными группами Фробениуса // Мат. заметки. 2021. Т. 109, № 2. C. 264–275. doi: 10.4213/mzm12763
3. Попов А.М., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 211 с.
4. Durakov B.E., Sozutov A.I. On periodic groups saturated with finite Frobenius groups // Bulletin of Irkutsk State University. Ser. Mathematics. Vol. 35. P. 73–86. doi: 10.26516/1997-7670.2021.35.73
5. Дураков Б.Е., Созутов А.И. О группах с инволюциями, насыщенных конечными группами Фробениуса // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 6. C. 1256–1265. doi: 10.33048/smzh.2022.63.607
6. Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами // Мат. тр. 1998. Т. 1, № 1. C. 129–138.
7. Маслова Н.В, Шлёпкин А. А. О группах Шункова, насыщенных почти простыми группами // Алгебра и логика. 2023. Т. 62, № 1. С. 93–101. doi: 10.33048/alglog.2023.62.106
8. Кухарев А.В., Шлепкин А.А. Локально конечные группы, насыщенные прямым произведением двух конечных групп диэдра // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2023. Т. 44. С. 71–81. doi: 10.26516/1997-7670.2023.44.71
9. Шлепкин А.А., Сабодах И.В. О двух свойствах группы Шункова // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2021. T. 35. С. 103–119. doi: 10.26516/1997-7670.2021.35.103
10. Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. О периодических группах, насыщенных конечными простыми симплектическими группами размерности 6 над полями нечетных характеристик // Сиб. мат. журн. 2022. Т 63. № 6. С. 1308–1312. doi: 10.33048/smzh.2022.63.611
11. Го В. Б., Лыткина Д. В., Мазуров В. Д. О периодических группах, насыщенных конечными простыми группами L4(q) // Алгебра и логика. 2021. Т 60. № 6. С. 549–556. doi: 10.33048/alglog.2021.60.602
12. Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. Локальная конечность периодической группы, насыщенной конечными простыми ортогональными группами нечетной размерности // Сиб. мат. журн. 2021. Т 62. № 3. С. 572–578. doi: 10.33048/smzh.2021.62.309
13. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory, 20th ed., eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro, Novosibirsk: Inst. Math. SO RAN Publ., 2022, 269 p. URL: https://kourovka-notebook.org/
14. Старостин А.И. О группах Фробениуса // Укр. мат. журн. 1971. Т. 23 № 5. C. 629–639.
Поступила 18.10.2023
После доработки 1.02.2024
Принята к публикации 5.02.2024
Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru
Ссылка на статью: А.И. Созутов. О группах с фробениусо-энгелевыми элементами // Тр. Ин-та математики и механики Уро РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 213-222
English
A.I. Sozutov. On groups with Frobenius–Engel elements
A number of properties of periodic and mixed groups with Frobenius-Engel elements are found (Lemmas in Sect. 2 and Theorem 1). The results obtained are used to describe mixed and periodic groups with finite elements saturated with finite Frobenius groups. It is proved that a binary finite group saturated with finite Frobenius groups is a Frobenius group with locally finite complement (Theorem 2). Theorem 3 establishes that in a saturated Frobenius group of a primitive binary finite group $G$ without involutions the characteristic subgroup $\Omega_1(G)$ generated by all elements of prime orders from $G$ is a periodic Frobenius group with kernel $F$ and locally cyclic complement $H$. Moreover, any maximal periodic subgroup $T$ of $G$ is a Frobenius group with kernel $F$ and complement $T\cap N_G(H)$. A number of examples of periodic non-locally finite and mixed groups satisfying Theorem 3 are given.
Keywords: Frobenius groups, finite elements, Engel elements, Frobenius elements, Frobenius-Engel elements, saturation
Received October 18, 2023
Revised February 1, 2024
Accepted February 5, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10017).
Anatoly Ilich Sozutov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru
Cite this article as: A.I. Sozutov. On groups with Frobenius–Engel elements. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 213–222.
[References -> on the "English" button bottom right]
