УДК 517.977
MSC: 65K10, 37N40, 93C95
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-138-153
Рассматривается задача стабилизации для систем, аффинных по управлению и нелинейных по фазовым переменным. Изучается гамильтонова система принципа максимума Понтрягина в окрестности особой экстремали второго порядка. Доказана теорема существования четтеринг-экстремалей, достигающих особой экстремали за конечное время. Теорема иллюстрируется на примере стабилизации с обратной связью для системы шар и балка.
Ключевые слова: стабилизация с обратной связью, особые экстремали второго порядка, четтеринг-управление, система шар-балка
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фантони И., Лозано Р. Нелинейное управление механическими системами с дефицитом управляющих воздействий. Москва: К-Динамика, 2012. 312 c.
2. Liu Y., Yu H. A survey of underactuated mechanical systems // IET Control Theory Appl. 2013. Vol. 7, no. 7. P. 921–935. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2012.0505
3. Formalskii A.M. Stabilisation and motion control of unstable objects. Berlin: De Gruyter, 2015. 255 p. (Ser. De Gruyter Stud. Math. Phys., vol. 33). https://doi.org/10.1515/9783110375893
4. Krasovskii N.N., Problems of control and stabilization in dynamical systems // J. Math. Sci. 2000. Vol. 100, no. 5. P. 2458–2469. https://doi.org/10.1007/BF02673836
5. Fuller A.T. Relay control systems optimized for various performance criteria // Proc. First World Congress IFAC (Moscow, 1960). London: Butterworths, 1961. P. 510–519.
6. Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of Chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Boston, MA: Birkhauser, 1994. 244 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2702-1
7. Zelikin M.I., Borisov V.F. Optimal chattering feedback control // J. Math. Sci. 2003. Vol. 114, no. 3. P. 1227–1344. https://doi.org/10.1023/A:1022082011808
8. Manita L.A., Ronzhina M.I. Optimal synthesis in the control problem of an n-link inverted pendulum with a moving base // J. Math. Sci. 2017. Vol. 221. P. 137–153. https://doi.org/10.1007/s10958-017-3222-x
9. Ronzhina M.I. Optimal conditions with chattering in the inverted two-link pendulum control problem // J. Appl. Math. Mech. 2016. Vol. 80, no. 1. P. 16–23. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2016.05.004
10. Мельников Н.Б., Ронжина М.И. Экстремали с бесконечным числом переключений в задачах стабилизации аффинных по управлению // Успехи мат. наук. 2024. Т. 79, № 5. C. 187–188. https://doi.org/10.4213/rm10198
11. Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. Invariant manifolds. Berlin: Springer, 1977. 150 p. (Ser. Lecture Notes in Math.; vol. 583). https://doi.org/10.1007/BFb0092042
12. Ронжина М.И., Мельников Н.Б. Машинное обучение и оптимальное управление: линейно-квадратичные задачи, М.: Изд. центр РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина. 2024. 126 с.
13. Hauser J., Sastry, S., Kokotovic P. Nonlinear control via approximate input-output linearization: The ball and beam example // Proc. 28th IEEE Conf. on Decision and Control. Tampa, FL, 1989. P. 1987–1993. https://doi.org/10.1109/CDC.1989.70513
14. Lare C., White W. N., Hossain S. Motion equations for the ball and beam and the ball and arc systems // J. Dyn. Sys., Meas., Control. 2019. Vol. 141, no. 12, art. no. 121006. 11 p. https://doi.org/10.1115/1.4044619
Поступила 12.10.2024
После доработки 27.11.2024
Принята к публикации 2.12.2024
Мельников Николай Борисович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва,
e-mail: melnikov@cs.msu.ru
Ронжина Мария Игоревна
канд. физ.-мат. наук, доцент,
РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина, г. Москва,
e-mail: ronzhina.m@gubkin.ru
Ссылка на статью: Н.Б. Мельников, М.И. Ронжина. Четтеринг-траектории в задачах стабилизации нелинейных систем аффинных по управлению // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 138-153
English
N.B. Melnikov, M.I. Ronzhina. Chattering trajectories in stabilization problems for nonlinear control-affine systems
The stabilization problem is considered for systems that are affine in control and nonlinear in phase variables. The Hamiltonian system of Pontryagin’s maximum principle is studied in a neighborhood of a second-order singular extremal. An existence theorem is proved for chattering extremals reaching the singular extremal in a finite time. The theorem is illustrated by the example of feedback stabilization for the ball and beam system.
Keywords: feedback stabilization, singular extremals of the second order, chattering control, ball–beam system
Received October 12, 2024
Revised November 27, 2024
Accepted December 2, 2024
Nikolai B. Melnikov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119899 Russia, e-mail: melnikov@cs.msu.ru
Mariya I. Ronzhina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), National University of Oil and Gas “Gubkin University”, Moscow, 119991 Russia, e-mail: ronzhina.m@gubkin.ru
Cite this article as: N.B. Melnikov, M.I. Ronzhina. Chattering trajectories in stabilization problems for nonlinear control-affine systems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 138–153.
