УДК 512.542
MSC: 20D06, 20D20, 20D60, 20C20, 05C25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-134-148
Пусть $G$ — конечная группа, $\pi(G)$ — множество всех простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ — множество всех порядков ее элементов (ее спектр). Графом простых чисел (или графом Грюнберга — Кегеля) конечной группы $G$ называется граф $GK(G)$, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. Графы простых чисел простых неабелевых групп известны. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп по свойствам их графов простых чисел. Мы исследуем неабелевы композиционные факторы конечных групп с графом простых чисел как у известной простой группы. В 2011 г. А.М. Старолетов изучил конечные группы, имеющие спектр как у конечной простой группы и спорадический композиционный фактор. Обобщая этот результат, мы рассматриваем в статье вопрос о том, может ли композиционный фактор конечной группы с графом простых чисел как у конечной простой группы быть изоморфным спорадической группе. Показано, что конечная группа с графом простых чисел как у простой исключительной группы лиева типа, отличной от $G_2(q)$ и ${^3}D_4(q)$, или как у простых классических групп $L_n(q)$, $U_n(q)$, $O_{2n+1}(q)$, $S_{2n}(q)$ для достаточно большого $n$ не имеет спорадических композиционных факторов, отличных от $F_1$. Кроме того, описаны спорадические композиционные факторы $S$ конечных групп $G$ с условиями $GK(G)=GK(H)$ и $\pi(G)=\pi(S)$, где $H$ — простая знакопеременная группа или простая группа лиева типа.
Ключевые слова: конечная группа, простая группа, спорадическая группа, исключительная группа лиева типа, классическая группа, граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кондратьев А. С. Конечные группы с заданными свойствами их графов простых чисел // Алгебра и логика. 2016. Т. 55, № 1. С. 113–120. doi: 10.17377/alglog.2016.55.108
2. Staroletov A.M. Sporadic composition factors of finite groups isospectral to simple groups // Сиб. электрон. мат. изв. 2011. № 8. C. 268–272.
3. Maslova N.V., Panshin V.V., Staroletov A.M. On characterization by Gruenberg–Kegel graph of finite simple exceptional groups of Lie type // European J. Math. 2023. Vol. 9, no. 78. doi: 10.1007/s40879-023-00672-7
4. Кондратьев А.С. Конечные 4-примарные группы с несвязным графом Грюнберга–Кегеля, содержащим треугольник // Алгебра и логика. 2023. Т. 62, № 1. С. 76–92. doi: 10.33048/alglog.2023.62.105
5. Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.
6. Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. Bd 3. S. 265–284.
7. Васильев А.В., Вдовин Е.П. Критерий смежности в графе простых чисел // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682–725.
8. Gerono G.C. Note sur la résolution en nombres entiers et positifs de l’équation $x^m = y^n + 1$ // Nouv. Ann. Math. (2). 1870. Vol. 9. P. 69–471.
9. Crescenzo P. A diophantine equation which arises in the theory of finite groups // Adv. in Math. 1975. Vol. 17. P. 25–29.
10. Васильев А.В., Горшков И.Б. О распознавании конечных простых групп со связным графом простых чисел // Сиб. мат. журн. 2009. T. 50, № 2. С. 292–299.
11. Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513.
12. Herzog M. On finite simple groups of order divisible by three primes only // J. Algebra. 1968. Vol. 10, no. 3. P. 383–388.
13. Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Vol. 17, № 4. С. 142–159.
14. Kondrat’ev A.S. Finite almost simple 5-primary groups and their Gruenberg–Kegel graphs // Сиб. электрон. мат. изв. 2014. № 11. C. 634–674.
15. Васильев А.В., Вдовин Е.П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 4. С. 425–470.
16. Дольфи С., Джабара Э., Лючидо М.С. C55-группы // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 6. С. 1285–1298.
17. Jansen C., Lux K., Parker R., Wilson R. An atlas of Brauer characters. Oxford: Clarendon Press, 1995. 252 p. (Lond. Math. Soc. Monogr., New Ser., 11).
18. Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Elec. Math. Rep. 2009. Vol. 6. P. 1–12.
19. Мазуров В.Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 37–53.
20. Кондратьев А.С., Мазуров В.Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. мат. журн. 2000. T. 41, № 2. С. 359–369.
Поступила 26.06.2024
После доработки 21.10.2024
Принята к публикации 28.10.2024
Зиновьева Марианна Рифхатовна
канд. физ.-мат. наук
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru
Ссылка на статью: М.Р. Зиновьева. О существовании спорадического композиционного фактора в некоторых конечных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 134-148
English
M.R. Zinov’eva. On the existence of a sporadic composition factor in some finite groups
Assume that $G$ is a finite group, $\pi(G)$ is the set of all prime divisors of its order, and $\omega(G)$ is the set of all orders of its elements (its spectrum). The prime graph (or the Gruenberg–Kegel graph) of a finite group $G$ is a graph $GK(G)$ such that its vertices are the prime divisors of the order of $G$ and two distinct vertices $p$ and $q$ are adjacent in $GK(G)$ if and only if $G$ contains an element of order $pq$. The prime graphs of nonabelian finite simple groups are known. One of the most popular fields of research in finite group theory is the study of finite groups by the properties of their prime graphs. We study nonabelian composition factors of finite groups whose prime graphs are the same as the prime graphs of known simple groups. In 2011, A.M. Staroletov studied finite groups with a sporadic composition factor whose spectrum is the same as the spectrum of a finite simple group. Generalizing this result, we consider the question of whether a composition factor of a finite group whose prime graph is the same as the prime graph of a finite simple group can be isomorphic to a sporadic group. It is shown that a finite group whose prime graph is the same as the prime graph of a simple exceptional group of Lie type other than $G_2(q)$ and ${^3}D_4(q)$ or the prime graph of simple classical groups $L_n(q)$, $U_n(q)$, $O_{2n+1}(q)$, and $S_{2n}(q)$ for large enough $n$ has no sporadic composition factors other than $F_1$. In addition, we describe sporadic composition factors $S$ of finite groups~$G$ with the conditions $GK(G)=GK(H)$ and $\pi(G)=\pi(S)$, where $H$ is a simple alternating group or a simple group of Lie type.
Keywords: finite group, simple group, sporadic group, exceptional group of Lie type, classical group, Gruenberg–Kegel graph (prime graph)
Received June 26, 2024
Revised October 21, 2024
Accepted October 28, 2024
Marianna Rifkhatovna Zinovieva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru
Cite this article as: M.R. Zinov’eva. On the existence of a sporadic composition factor in some finite groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 134–148.
[References -> on the "English" button bottom right]
