УДК 517.977
MSC: 49N70, 49L20, 34K40
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-86-98
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственного задания, проект FEWS-2024-0009.
На конечном промежутке времени рассматривается дифференциальная игра на минимакс-максимин заданного показателя качества, в которой движение конфликтно управляемой динамической системы описывается функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Хейла. При более общих по сравнению с рассматриваемыми ранее предположениях доказывается теорема о существовании цены и седловой точки игры в классах позиционных стратегий управления игроков с памятью истории движения. Доказательство задействует технику соответствующих наследственных уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными и теорию минимаксных (обобщенных) решений таких уравнений. При этом для построения оптимальных стратегий, составляющих седловую точку игры, используется недавний результат о существовании и единственности подходящего минимаксного решения и специальный функционал Ляпунова — Красовского.
Ключевые слова: дифференциальная игра, уравнение нейтрального типа, цена игры, оптимальные стратегии, наследственное уравнение Гамильтона — Якоби, коинвариантные производные, минимаксное решение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.
3. Krasovskii N.N., Krasovskii A.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhäuser, 1995. 322 p. ISBN: 0-8176-3698-6.
4. Hale J.K., Cruz M.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for hereditary systems // Ann. Mat. Pura Appl. 1970. Vol. 85, no. 1. P. 63–81. doi: 10.1007/BF02413530
5. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 55–126.
6. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. NY: Springer, 1993. 447 p. doi: 10.1007/978-1-4612-4342-7
7. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Дифференциальные игры для систем нейтрального типа: аппроксимационная модель // Тр. МИАН. 2015. Т. 291, № 4. С. 202–214. doi: 10.1134/S0371968515040159
8. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Существование цены и седловой точки в позиционных дифференциальных играх для систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 101–112. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-101-112
9. Гомоюнов М.И., Плаксин А.Р. Об основном уравнении дифференциальных игр для систем нейтрального типа // Прикл. математика и механика. 2018. Т. 82, № 6. С. 675–689. doi: 10.31857/S003282350002733-6
10. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. К теории позиционных дифференциальных игр для систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 118–128. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-118-128
11. Plaksin A.R. Optimal positional strategies in differential games for neutral-type systems // Dyn. Games Appl. 2024. doi: 10.1007/s13235-024-00565-8
12. Гарнышева Г.Г., Субботин А.И. Стратегия минимаксного прицеливания в направлении квазиградиента // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, № 4. С. 5–11.
13. Subbotin A.I. Generalized solutions of first order PDEs: The dynamical optimization perspective. Boston: Birkhäuser, 1995. 314 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0847-1
14. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона–Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во Урал. федерал. ун-та, 2011. 243 с.
15. Плаксин А.Р. Об уравнении Гамильтона — Якоби — Айзекса — Беллмана для систем нейтрального типа // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2017. Т. 27, № 2. С. 222–237. doi: 10.20537/vm170206
16. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Минимаксные решения уравнений Гамильтона — Якоби в задачах динамической оптимизации наследственных систем // Успехи мат. наук. 2024. Т. 79, № 2. С. 43–144. doi: 10.4213/rm10166
17. Kim A.V. Functional differential equations. Application of i-smooth calculus. Dordrecht: Springer, 1999. 168 p. doi: 10.1007/978-94-017-1630-7
18. Плаксин А.Р. О минимаксном решении функциональных уравнений Гамильтона — Якоби для систем нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 11. С. 1519–1527. doi: 10.1134/S0374064119110086
19. Плаксин А.Р. О минимаксном решении уравнений Гамильтона — Якоби для систем нейтрального типа: случай неоднородного гамильтониана // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 11. С. 1536–1545. doi: 10.31857/S0374064121110108
20. Plaksin A.R. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations for neutral-type systems // Appl. Math. Optim. 2023. Vol. 88, no. 1. Art. no. 6. 29 p. doi: 10.1007/s00245-023-09980-6
21. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. О минимаксном решении наследственных уравнений Гамильтона — Якоби для систем нейтрального типа // Успехи мат. наук. 2024. Т. 79, № 4 (478). P. 177–178.
22. Zhou J. Viscosity solutions to first order path-dependent HJB equations. 2020. 25 p.
http://Arxiv.org/abs/2004.02095 . doi: 10.48550/arXiv.2004.02095
23. Zhou J. Viscosity solutions to first order path-dependent Hamilton–Jacobi–Bellman equations in Hilbert space // Automatica. 2022. Vol. 142. Art. 110347. 15 p. doi: 10.1016/j.automatica.2022.110347
24. Gomoyunov M.I., Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. Path-dependent Hamilton–Jacobi equations: the minimax solutions revised // Appl. Math. Optim. 2021. Vol. 84, suppl. 1. P. S1087–S1117. doi: 10.1007/s00245-021-09794-4
25. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
Поступила 26.06.2024
После доработки 11.07.2024
Принята к публикации 15.07.2024
Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург;
науч. сотрудник
научная лаборатория математической теории управления
Удмуртский государственный университет
г. Ижевск
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com
Лукоянов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, академик РАН
директор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: nyul@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.И. Гомоюнов, Н.Ю. Лукоянов. Цена и оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре для системы нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 86-98
English
M.I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov. The value and optimal strategies in a positional differential game for a neutral-type system
On a finite time interval, a differential game for the minimax–maximin of a given cost functional is considered. In this game, the motion of a conflict-controlled dynamical system is described by functional differential equations of neutral type in Hale’s form. Under assumptions more general than those considered previously, a theorem on the existence of the value and saddle point of the game in classes of players’ closed-loop control strategies with memory of the motion history is proved. The proof involves the technique of the corresponding path-dependent Hamilton–Jacobi equations with coinvariant derivatives and the theory of minimax (generalized) solutions of such equations. In order to construct optimal strategies, which constitute a saddle point of the game, a recent result on the existence and uniqueness of a suitable minimax solution and a special Lyapunov–Krasovskii functional are used.
Keywords: differential game, neutral-type equation, game value, optimal strategies, path-dependent Hamilton–Jacobi equation, coinvariant derivatives, minimax solution
Received June 26, 2024
Revised July 11, 2024
Accepted July 15, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within a state contract (project FEWS-2024-0009).
Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com
Nikolai Yur’evich Lukoyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Academician, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: nyul@imm.uran.ru
Cite this article as: M.I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov. The value and optimal strategies in a positional differential game for a neutral-type system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 86–98.
[References -> on the "English" button bottom right]
