Л.А. Артемьева, А.А. Дряженков, М.М. Потапов. Устойчивое решение неравномерно возмущенной задачи квадратичной минимизации экстраградиентным методом с отделенным от нуля шагом ... С. 7-22

УДК 519.853.62

MSC: 65J20, 65K05, 90C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-7-22

Статья опубликована при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

Рассматривается задача квадратичной минимизации в гильбертовых пространствах при наличии ограничений, заданных линейным операторным уравнением и выпуклым квадратичным неравенством. Основная особенность постановки задачи состоит в том, что практически доступные аппроксимации точных линейных операторов, задающих критерий и ограничения, сходятся к ним не по равномерной операторной норме, а лишь сильно поточечно, что делает невозможным обоснованное применение классических методов регуляризации. В работе предлагается метод регуляризации, применимый при наличии оценок погрешности приближенных операторов в парах других операторных норм, более слабых по сравнению с исходными. Для каждого из операторов пара соответствующих ему ослабленных операторных норм получается за счет усиления нормы в области его определения и ослабления нормы во множестве его значений. Ослабление операторных норм, как правило, позволяет оценить погрешности в операторах, когда это было принципиально невозможно в исходных нормах, например, при конечномерной аппроксимации некомпактного оператора. От исходной оптимизационной постановки осуществляется переход к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа. Предлагаемый численный метод поиска седла представляет собой итерационную регуляризованную экстраградиентную двухэтапную процедуру. На каждой итерации на первом этапе уточняется приближение к оптимальному значению критерия, а на втором этапе происходит уточнение ее приближенного решения по основной переменной. По сравнению с методами, разработанными авторами ранее и работающими в подобных информационных условиях, данный метод предпочтительнее при практической реализации, поскольку не требует обязательной сходимости градиентного шага к нулю. Основным результатом работы является доказательство сильной сходимости генерируемых методом приближений к одному из точных решений исходной задачи по норме исходного пространства.

Ключевые слова: задача квадратичной минимизации, приближенные данные, численное решение, некорректная задача, регуляризация, экстраградиентный метод, функция Лагранжа, седловая точка

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Изд. 3-е, испр. М.: Наука, 1986. 288 с.

2.   Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. Т. 12, № 6. С. 1592–1594.

3.   Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1973. Т. 13, № 2. С. 294–302.

4.   Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. 128 с.

5.   Антипин А.С., Артемьева Л.А., Васильев Ф. П. Экстраградиентный метод поиска решения задачи оптимального управления с неявно заданными граничными условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, № 1. С. 49–54. doi: 10.7868/S0044466916110028

6.   Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods // SIAM Rev. 2005. Vol. 47, no. 2. P. 197–243. doi: 10.1137/S0036144503432862

7.    Артемьева Л.А., Дряженков А.А., Потапов М.М. О задаче квадратичной минимизации с неравномерными возмущениями в критерии и ограничениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 19–34. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-19-34

8.   Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

9.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации: В 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011. 1053 с.

Поступила 16.02.2024

После доработки 27.02.2024

Принята к публикации 28.02.2024

Артемьева Людмила Анатольевна
канд. физ.-мат. наук
доцент
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
e-mail: artemieva.luda@gmail.com

Дряженков Андрей Александрович
канд. физ.-мат. наук, младший науч. сотрудник
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
e-mail: andrja@yandex.ru

Потапов Михаил Михайлович
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
e-mail: mmpotapovrus@gmail.com

Ссылка на статью: Л.А. Артемьева, А.А. Дряженков, М.М. Потапов. Устойчивое решение неравномерно возмущенной задачи квадратичной минимизации экстраградиентным методом с отделенным от нуля шагом // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 7-22

English

L.A.  Artem’eva, A.A.  Dryazhenkov, M.M.  Potapov. A stable solution of a nonuniformly perturbed quadratic minimization problem by the extragradient method with step size separated from zero

A quadratic minimization problem is considered in Hilbert spaces under constraints given by a linear operator equation and a convex quadratic inequality. The main feature of the problem statement is that the practically available approximations to the exact linear operators specifying the criterion and the constraints converge to them only strongly pointwise rather than in the uniform operator norm, which makes it impossible to justify the use of the classical regularization methods. We propose a regularization method that is applicable in the presence of error estimates for approximate operators in pairs of other operator norms, which are weaker than the original ones. For each of the operators, the pair of corresponding weakened operator norms is obtained by strengthening the norm in the domain of the operator and weakening the norm in its range. The weakening of operator norms usually makes it possible to estimate errors in operators where this was fundamentally impossible in the original norms, for example, in the finite-dimensional approximation of a noncompact operator. From the original optimization formulation, a transition is made to the problem of finding a saddle point of the Lagrange function. The proposed numerical method for finding a saddle point is an iterative regularized extragradient two-stage procedure. At the first stage of each iteration, an approximation to the optimal value of the criterion is refined; at the second stage, the approximate solution with respect to the main variable is refined. Compared to methods previously developed by the authors and working under similar information conditions, this method is preferable for practical implementation, since it does not require the gradient step size to converge to zero. The main result of the work is the proof of the strong convergence of the approximations generated by the method to one of the exact solutions to the original problem in the norm of the original space.

Keywords: quadratic minimization problem, approximate data, numerical solution, ill-posed problem, regularization, extragradient method, Lagrange function, saddle point

Received February 16, 2024

Revised February 27, 2024

Accepted February 28, 2024

Funding Agency: This research was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within a program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (agreement no. 075-15-2022-284).

Liudmila Anatolievna Artemieva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Moscow; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, 119991 Russia, e-mail: artemieva.luda@gmail.com

Andrey Alexandrovich Dryazhenkov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Moscow; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, 119991 Russia, e-mail: andrja@yandex.ru

Mikhail Mikhailovich Potapov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: mmpotapovrus@gmail.com

Cite this article as: L.A. Artem’eva, A.A. Dryazhenkov, M.M. Potapov. A stable solution of a nonuniformly perturbed quadratic minimization problem by the extragradient method with step size separated from zero. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 7–22.

[References -> on the "English" button bottom right]