УДК 517.977
MSC: 49J15, 93C95
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-130-137
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S147-S154. (Abstract)
В математической теории оптимального управления традиционно рассматриваются управляемые объекты с геометрическими ограничениями на управляющий вектор $u$. Вместе с тем выяснилось, что иногда удобнее рассматривать интегральные ограничения на управляющий вектор $u$. Например, в теории АКОР — теории автоматического конструирования оптимальных регуляторов — считается, что на управляющий вектор $u$ нет геометрических ограничений, но есть требование суммируемости по Лебегу управления $u(t)$ и квадрата длины $|u(t)|^2$ на соответствующем отрезке определения. Это обстоятельство, а также то, что критерий качества имеет вид квадратичного функционала, позволяют при широких предположениях конструктивно получить синтез оптимального управления. Квадратичные интегральные ограничения на управления можно трактовать как некоторые энергетические ограничения на управления. Управляемым объектам при интегральных ограничениях на управления в научной литературе по теории управления уделяется довольно большое внимание. Отметим работы Н.Н. Красовского, Э.Б. Ли, Л. Маркуса, А.Б. Куржанского, М.И. Гусева, И.В. Зыкова и их учеников. В статье изучается линейная задача оптимального быстродействия с терминальным множеством в виде нулевой точки при интегральном ограничении на управление. Получены достаточные условия, при которых функция времени оптимального быстродействия как функция начального состояния $x_0$ непрерывна.
Ключевые слова: управление, управляемый объект, интегральное ограничение, быстродействие
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 p.
2. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.
3. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
4. Мезенцев А.В. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управление. Изд-во Москов. ун-та, 1988. 134 p.
5. Гусев М.И., Зыков И.В. Об экстремальных свойствах граничных точек множеств достижимости управляемых систем при интегральных ограничениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. С. 103–115.
6. Зыков И.В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями // Изв. ИМИ УдГУ. 2019. Т. 53. С. 61–72. DOI: 10.20537/2226-3594-2019-53-06
7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал пресс, 2002. 824 c.
8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа, 2001. 240 p.
9. Петров Н.Н. Введение в выпуклый анализ. Ижевск, 2009. 166 с.
10. Никольский М.С. О непрерывности времени оптимального быстродействия как функции начального состояния для линейных управляемых объектов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2023. № 2. С. 31–38. doi: 10.55959/MSU/0137-0782-15-2023-47-2-31-38
Поступила 25.10.2023
После доработки 15.02.2024
Принята к публикации 19.02.2024
Никольский Михаил Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Математический институт имени В.А. Стеклова РАН
г. Москва
e-mail: mni@mi-ras.ru
Ссылка на статью: М.С. Никольский. О непрерывности времени оптимального быстродействия как функции начального состояния для линейных управляемых объектов с интегральными ограничениями на управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 130-137
English
M.S. Nikol’skii. On the continuity of the optimal time as a function of the initial state for linear controlled objects with integral constraints on controls
A traditional object of study in the mathematical theory of optimal control is a controlled object with geometric constraints on the control vector $u$. At the same time, it turns out that sometimes it is more convenient to impose integral constraints on the control vector $u$. For example, in the theory of automatic design of optimal controllers, it is sometimes assumed that the control vector $u$ is not subject to any geometric constraints, but there is a requirement that the control $u(t)$ and its squared length $|u(t )|^2$ are Lebesgue summable on the corresponding interval. This circumstance, as well as the fact that the quality criterion has the form of a quadratic functional, makes it possible to construct an optimal control under rather broad assumptions. Quadratic integral constraints on controls can be interpreted as some energy constraints. Controlled objects under integral constraints on the controls are given quite a lot of attention in the mathematical literature on control theory. We mention the works of N.N. Krasovskii, E.B. Lee, L. Markus, A.B. Kurzhanski, M.I. Gusev, I.V. Zykov, and their students. The paper studies a linear time-optimal problem, in which the terminal set is the origin, under an integral constraint on the control. Sufficient conditions are obtained under which the optimal time as a function of the initial state $x_0$ is continuous.
Keywords: control, controlled object, integral constraint, time optimality
Received October 25, 2023
Revised February 15, 2024
Accepted February 19, 2024
Mikhail Sergeevich Nikolskii, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Science, Moscow, 119991 Russia, e-mail: mni@mi-ras.ru
Cite this article as: M.S. Nikol’skii. On the continuity of the optimal time as a function of the initial state for linear controlled objects with integral constraints on controls. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 130–137. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S147-S154.
[References -> on the "English" button bottom right]
