В.Г. Пименов, А.Б. Ложников. Асимптотическое разложение погрешности численного метода для решения супердиффузионного уравнения с функциональным запаздыванием ... С. 138-151

УДК 519.63

MSC: 65N06, 65Q20

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-138-151

Рассматривается уравнение с дробными производными Рисса по пространству  с функциональным эффектом запаздывания. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции аналога разностного метода Кранка — Николсон с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени $\Delta$ и пространству $h$. Конструируется базовый метод Кранка — Николсон с кусочно-параболической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода. Выписываются коэффициенты разложения невязки относительно $\Delta$ и $h$. Выводится уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий метод. Главное из этих предположений — согласованность порядков малости $\Delta$ и $h$. Доказывается, что метод имеет порядок $O(\Delta^3+h^3)$.

Ключевые слова: дробные производные Рисса, уравнение супердиффузии, функциональное запаздывание, метод Кранка–Николсон, кусочно-параболическая интерполяция, экстраполяция продолжением, метод Ричардсона

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Wu J. Theory and application of partial functional differential equations. NY: Springer-Verlag, 1996. 438 p.

2.   Polyanin A., Sorokin V., Zhurov A. Delay ordinary and partial differential equations. London, NY: CRC Press. Boca Raton, 2023. 400 p.

3.   Камонт З., Кропельницка К. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычислит. математики. 2011. Т. 14, № 4. C. 361–379.

4.   Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. 134 с.

5.   Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Appl. Numer. Math. 2006. Vol. 56 (1). P. 80–90. doi: 10.1016/j.apnum.2005.02.008

6.   Tadjeran C., Meerschaert M.M., Scheffler H.P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // J. Comput. Phys. 2006. Vol. 213 (1). P. 205–213. doi: 10.1016/j.jcp.2005.08.008

7.   Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximation for solving space fractional diffusion equations // Math. Comput. 2015. Vol.  84 (294). P. 1703–1727. doi: 10.48550/arXiv.1201.5949

8.   Pimenov V.G., Hendy A.S. A fractional analog of Crank–Nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay // Ural Math. J. 2016. Vol. 2 (1). P. 48–57. doi: 10.15826/umj.2016.1.005

9.   Ibrahim M., Pimenov V.G. Crank-Nikolson scheme for two-dimensional in space fractional equations with functional delay // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. унив-та. 2021. Т. 57. С. 128–141. doi: 10.35634/2226-3594-2021-57-05

10.   Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решении разностных схем. М. : Наука, 1989. 320 с.

11.   Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

12.   Deng D., Chen J. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays // Networks and Heterogeneous Media. 2023. Vol. 18, no. 1. P. 412–443. doi: 10.3934/nhm.2023017

13.   Zhang C., Tan Z. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 1, 105461. doi: 10.1016/j.cnsns.2020.105461

14.   Пименов В.Г., Ложников А.Б. Метод Ричардсона для диффузионного уравнения с функциональным запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. C. 133–144. doi: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-133-144

15.   Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Асимптотическое разложение погрешности численного метода для решения волнового уравнения с функциональным запаздыванием // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. унив-та. 2023. Т. 62. С. 71–86.

16.   Li C.P., Zeng F.H. Numerical methods for fractional calculus. London, NY: Boca Raton. CRC Press, 2015. 294 p.

17.   Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М. ; Ижевск : РХД, 2004. 256 с.

18.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 426 с.

Поступила 5.04.2024

После доработки 3.05.2024

Принята к публикации 6.05.2024

Пименов Владимир Германович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Ложников Андрей Борисович
канд. физ.-мат. наук, доцент
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: ablozhnikov@yandex.ru

Ссылка на статью: В.Г. Пименов, А.Б. Ложников. Асимптотическое разложение погрешности численного метода для решения супердиффузионного уравнения с функциональным запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 138-151

English

V.G. Pimenov, A.B. Lozhnikov. Asymptotic expansion of the error of a numerical method for solving a superdiffusion equation with functional delay

An equation with Riesz fractional space derivatives and a functional delay effect is considered. The problem is discretized. Constructions of an analog of the Crank—Nicolson difference method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are presented. The method has the second order of smallness with respect to the time and space sampling steps $\Delta$ and $h$. The basic Crank—Nicolson method with piecewise parabolic interpolation and extrapolation by continuation is constructed. The order of the residual without interpolation of the basic method is studied. The expansion coefficients of the residual with respect to $\Delta$ and $h$ are written. An equation is derived for the main term of the asymptotic expansion of the global error. Under certain assumptions, the legality of using the Richardson extrapolation procedure is substantiated and the corresponding method is constructed. The main of these assumptions is the consistency of the orders of smallness $\Delta$ and $h$. It is proved that the method has order $O(\Delta^3+h^3)$.

Keywords: Riesz fractional derivatives, superdiffusion equation, functional delay, Crank–Nicolson method, piecewise parabolic interpolation, extrapolation by continuation, Richardson method

Received April 5, 2024

Revised May 3, 2024

Accepted May 6, 2024

Vladimir Germanovich Pimenov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Andrey Borisovich Lozhnikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ablozhnikov@yandex.ru

Cite this article as: V.G. Pimenov, A.B. Lozhnikov. Asymptotic expansion of the error of a numerical method for solving a superdiffusion equation with functional delay. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 138–151.

[References -> on the "English" button bottom right]