УДК 512.75
MSC: 14G40
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-156-169
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (грант на создание и развитие МЦМУ им. Леонарда Эйлера , соглашение №075-15-2022-289)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S155–S167. (Abstract)
Рассматриваются векторные расслоения ранга 2 с тривиальным общим слоем на проективной прямой над $\mathbb{Z}$. Для таких расслоений строится новый инвариант - кручение Рейдемейстера, аналог классического кручения Рейдемейстера из топологии. Для векторных расслоений ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты 1, т. е. для таких, которые в слое над $\mathbb{Q}$ изоморфны $\mathcal{O}^2$, а над каждой замкнутой точкой $Spec(\mathbb{Z})$ изоморфны $\mathcal{O}^2$ или $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(1)$, вычисляется этот инвариант и показывается, что он вместе с дискриминантом расслоения полностью определяют такое расслоение.
Ключевые слова: векторное расслоение, арифметическая поверхность, проективная прямая, кручение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Roberts L. Indecomposable vector bundles on the projective line // Canad. J. Math. 1972. Vol. 24, no. 1. P. 149–154. doi:10.4153/CJM-1972-013-9
2. Horrocks G. Projective modules over an extension of a local ring // Proc. London Math. Soc. 1964. Vol. s3-14, no. 4. P. 714–718. doi: 10.1112/plms/s3-14.4.714
3. Hanna Ch.C. Subbundles of vector bundles on the projective line // J. Algebra. 1978. Vol. 52, no. 2. P. 322–327. doi: 10.1016/0021-8693(78)90242-9
4. Smirnov A.L. On filtrations of vector bundles over $P^1_\mathbb{Z}$ // Arithmetic and Geometry. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2015. P. 436–457. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 420).
5. Смирнов А.Л. Векторные расслоения на $P^1_\mathbb{Z}$ с простыми подскоками // Записки науч. семинара ПОМИ. 2016. Vol. 452. Р. 202–217.
6. Reidemeister K. Homotopieringe und Linsenräume // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1935. Vol. 11. P. 102–109. doi: 10.1007/BF02940717
7. Nicolaescu L.I. Notes on the Reidemeister torsion. 2002. 259 p. Available at: https://www3.nd.edu/ lnicolae/Torsion.pdf
8. Milnor J. Whitehead torsion // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72, no. 3. P. 358–426.
9. Ranicki A. The algebraic theory of torsion I. Foundations // Algebraic and Geometric Topology / eds. A. Ranicki, N. Levitt, F. Quinn. 1985. Springer; Berlin; Heidelberg, 1985. (Ser. Lecture Notes Math.; vol. 1126). doi: 10.1007/BFB0074445
10. Поляков В.М. Конечность числа классов векторных расслоений на $P^1_\mathbb{Z}$ с подскоками высоты 2 // Записки науч. семинара ПОМИ. 2022. Vol. 511. P. 137–160.
11. Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra. Princeton: Princeton Univ. Press, 1956. (Princeton Mathematical Ser.; vol. 28). doi:10.1515/9781400883844
Поступила 29.11.2023
После доработки 19.12.2023
Принята к публикации 25.12.2023
Поляков Владимир Михайлович
аспирант
Санкт-Петербургское отделение математического института
имени В.А. Стеклова Российской академии наук
г. Санкт-Петербург
e-mail: polyakov@pdmi.ras.ru
Ссылка на статью: В.М. Поляков. Кручение Рейдемейстера для векторных расслоений на $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 156-169
English
V.M. Polyakov. Reidemeister torsion for vector bundles on $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$
We consider vector bundles of rank 2 with a trivial generic fiber on the projective line over $\mathbb{Z}$. For such bundles, a new invariant is constructed - the Reidemeister torsion, which is an analog of the classical Reidemeister torsion from topology. For vector bundles of rank 2 with a trivial generic fiber and jumps of height 1, that is, for the bundles that are isomorphic to $\mathcal{O}^2$ in the fiber over $\mathbb{Q}$ and are isomorphic to $\mathcal{O} ^2$ or $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(1)$ over each closed point Spec$(\mathbb{Z})$, we calculate this invariant and show that it, together with the discriminant of the bundle, completely determines such a bundle.
Keywords: vector bundle, arithmetic surface, projective line, torsion
Received November 29, 2023
Revised December 19, 2023
Accepted December 25, 2023
Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (grant for the creation and development of the Leonhard Euler International Mathematical Institute, agreement no. 075-15-2022-289).
Vladimir Mikhailovich Polyakov, doctoral student, St. Petersburg Department of V.A.Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, 191023 Russia, e-mail: polyakov@pdmi.ras.ru
Cite this article as: V.M. Polyakov. Reidemeister torsion for vector bundles on $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 156–169. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S155–S167.
[References -> on the "English" button bottom right]
