А.И. Короткий, И.А. Цепелев. Ассимиляция граничных данных для восстановления коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии ... С. 87-103

УДК 517.9

MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-87-103

Исследуются прямая и обратная задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Прямая задача состоит в нахождении решения соответствующей краевой задачи при заданных параметрах модели. Указываются условия разрешимости прямой задачи, приводятся априорные оценки на решение, установлена непрерывная зависимость решения прямой задачи от ряда параметров. Обратная задача состоит в нахождении априори не известного коэффициента поглощения в среде, характеризующего поглощение некоторой субстанции (или сток тепла) в химическом процессе. Дополнительной информацией для решения обратной задачи являются результаты измерения концентрации вещества (или температуры) на доступной части границы области, содержащей соответствующую среду (области изменения пространственной переменной). Доказано, что обратная задача некорректна. Приведены примеры, показывающие, что обратная задача неустойчива по отношению к возмущению измеряемой величины и может иметь несколько решений. Для решения обратной задачи предложен вариационный метод, основанный на минимизации некоторого подходящего функционала невязки (целевого функционала). Исследованы экстремальные свойства задачи минимизации функционала невязки. Найдена явная аналитическая формула для вычисления градиента функционала невязки и выписаны соответствующие сопряженная система и система оптимальности. Указано несколько устойчивых итерационных методов минимизации функционала невязки. Приведены результаты численного моделирования решения обратной задачи.

Ключевые слова: уравнение реакции-конвекции-диффузии, прямая задача, обратная задача, функционал невязки, градиент функционала, сопряженная система, вариационный метод, градиентные методы минимизации

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 319 с.

2.   Моисеев Н.Н. Человек и ноосфера. М.: Молодая гвардия, 1990. 352 с.

3.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. M.: Наука, 1979. 288 c.

4.   Иванов В.К., Васин В.К., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. M.: Наука, 1978. 206 c.

5.   Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.

6.   Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 2. С. 88–97.

7.   Короткий А.И., Цепелев И.А., Исмаил-Заде А.Т. Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 143–157. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-143-157

8.   Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961, 652 p. ISBN: 048664071X.

9.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

10.   Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 204 с.

11.   Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.

12.   Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

13.   Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

14.   Adams R.A. Sobolev spaces. NY: Acad. Press, 1975. 268 p.

15.   Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

16.   Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

17.   Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

18.   Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Физматлит, 1959. 657 с.

19.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

20.   Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. NY: Springer, 1999. 664 p. ISBN: 0-387-30303-0.

21.   Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O. Iterative regularization methods for nonlinear Ill-posed problems. Berlin, NY: Walter de Gruyter, 2008. 202 p. (Radon Ser. Comp. Appl. Math.; vol. 6). ISBN: 311020827X.

22.   Wolfe P. Convergence conditions for ascent methods II: Some corrections // SIAM Review. Vol. 13. 1971. P. 85–188. doi: 10.1137/1013035

Поступила 3.03.2023

После доработки 17.03.2023

Принята к публикации 20.03.2023

Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru

Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.И. Короткий,  И.А. Цепелев. Ассимиляция граничных данных для восстановления коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики  УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 87-103

English

A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev. Assimilation of boundary data for reconstructing the absorption coefficient in a model of stationary reaction–convection–diffusion

Direct and inverse problems for a model of stationary reaction–convection–diffusion are studied. The direct problem is to find a solution to the corresponding boundary value problem for given parameters of the model. Solvability conditions are specified for the direct problem, a priori estimates of the solution are presented, and the continuous dependence of the solution to the direct problem on a number of parameters is established. The inverse problem consists in finding the a priori unknown absorption coefficient of the medium, which characterizes the decay of some substance (or the heat sink) in a chemical process. The results of measuring the concentration of a substance (or its temperature) on an available part of the boundary of the domain filled with the corresponding medium (the domain of change of the spatial variable) are used as additional information for solving the inverse problem. It is proved that the inverse problem is ill-posed. Examples are given demonstrating that the inverse problem is unstable with respect to changes of the measured value and can have several solutions. To solve the inverse problem, a variational method based on the minimization of some appropriate residual functional (a target functional) is suggested. The extremal properties of the problem of minimizing the residual functional are studied. An explicit analytical formula is found for calculating the gradient of the residual functional, and the corresponding adjoint system and optimality system are written. Several stable iterative methods for minimizing the residual functional are specified. Results of numerical simulation of the solution to the inverse problem are presented.

Keywords: reaction–convection–diffusion equation, direct problem, inverse problem, residual functional, functional gradient, adjoint system, variational method, gradient minimization methods

Received March 3, 2023

Revised March 17, 2023

Accepted March 20, 2023

Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru 

Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru 

Cite this article as: Korotkii A. I., Tsepelev I. A. Assimilation of boundary data for reconstructing absorption coefficient in a model of stationary reaction-convection-diffusion. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 87–103 .

[References -> on the "English" button bottom right]