В.В. Напалков (мл.), А.А. Нуятов. О гильбертовых пространствах последовательностей, образованных значениями функций из пространства Баргмана — Фока ... С. 104-114

УДК 517.444

MSC: 46E22, 47B32, 30H05, 32A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-104-114

В работе изучаются  гильбертовы пространства последовательностей, образованные значениями функций из пространства Баргмана — Фока $F$, которое  состоит  из целых функций,  квадрат модуля которых суммируем на плоскости ${\mathbb C}$ с мерой $d\sigma(z):=(1/\pi) e^{-|z|^2}\, dv(z)$, $dv(z)$ — элемент площади:
    \begin{equation*}
        \|f\|^2_F=\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\, d\sigma(z)<\infty \quad \forall f\in F.
        \end{equation*}
Пространство $\overline F$ состоит из  функций, комплексно-сопряженных к функциям из $F$, при этом $\|\overline f\|_{\overline F}=\|f\|_{F}\,\forall f\in F$. В статье рассматриваются  классы счетных множеств $\Omega_0$, $\Omega_0\subset {\mathbb C}$,  вида
$$
\Omega_0\stackrel{def}{=}\{z\in{\mathbb C}\colon z=a n+ibm, ab=\pi\,  \forall n,m\in{\mathbb Z}\},
$$
где $a,b$ — некоторые фиксированные (зависящие только от множества $\Omega_0$) вещественные числа, отличные от нуля.   Множества $\Omega_0$ называются решетками фон Неймана. Для вещественного числа $k>1$ образуем множество $\Omega_0^k\stackrel{def}{=}k\Omega_0$.  В работе установлено, что пространство последовательностей комплексных чисел $V_k$, образованное следами функций из $F^k$ —  некоторого подпространства  пространства $F$ на  множестве $\Omega_0^k$, эквивалентно пространству последовательностей комплексных чисел $U_k$, образованному следами функций из $\overline F^k$ — подпространства  пространства $\overline F$ на  множестве $\Omega_0^k$. Пространства $\overline F^k$, $\overline F$   состоят из функций комплексно-сопряженных к функциям из пространств $F^k$, $F$ соответственно. При этом нормы в пространствах $V_k$ и $U_k$ индуцируются нормами пространств $F^k$ и $\overline F^k$. Для получения основных результатов статьи используется результат  К. Сейпа о  дискретных сэмплинг  — множествах   пространства Баргмана — Фока. Применяются результаты авторов, связанные с вопросами совпадения или эквивалентности гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром. При этом важную роль играет  введенное ранее авторами понятие согласованности двух полных систем функций. В работе приведены контрпримеры. Построены  гильбертовы пространства комплексных чисел $V$ и $U$, являющихся следами на некотором дискретном подмножестве комплексной плоскости функций из  $F$, которые не являются  эквивалентными.
    
Ключевые слова: системы разложения, подобные ортогональным, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, задача описания сопряженного пространства, пространство Баргмана — Фока, фрейм из экспонент, решетка фон Неймана

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 68, no. 3. P. 337–404. doi: 10.1090/S0002-9947-1950-0051437-7

2.   Bargmann V. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 14, no. 3. C. 187–214. doi: 10.1002/cpa.3160140303

3.   K.Seip, R. Wallsten Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space II // J. reine angew. Math. 1992. Vol. 429. P. 107–113. doi:10.1515/crll.1992.429.107

4.   K. Seip Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space I // J. reine angew. Math. 1992. Vol. 429. P. 92–106. doi: 10.1515/crll.1992.429.91

5.   Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Изв. РАН. Cер. математическая. 1998. Т. 62, № 5. С. 187–206.

6.   Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с.

7.   Напалков B.B. (мл.) Об ортоподобных системах разложения в пространствe аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства // Уфим. мат. журн. 2011. Т. 3, № 1. С. 31–42.

8.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория, М.: ИЛ, 1962. 896 с.

9.   В. В. Напалков (мл.) Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром // Уфим. мат. журн. 2013. Т. 4, № 5. С. 91–104.

10.   Напалков В. В., Напалков В. В. (мл.) К вопросу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами, связанных специальным преобразованием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 149–159. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-149-159

11.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

12.   Daubechies  I. and Grossmann A. Frames in the Bargmann space of entire functions // Comm. Pure Appl. Math. 1988. Vol. 41. P. 151–164.

13.   Lyubarskii Y.I. Frames in the Bargmann space of entire functions // Entire and Subharmonic Functions / ed. Boris Ya Levin. Vol. 11 of Adv. Sov. Math.. Providence: Amer. Math. Soc., 1992. P. 167–180. doi: 10.1090/advsov/011

14.   Напалков В.В., Напалков В.В. (мл.) Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. С. 665–667.

15.   Newman D.J., Shapiro H.S. Certain Hilbert spaces of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72, no. 6. P. 971–977. doi: 10.1090/S0002-9904-1966-11608-7

Поступила 23.03.2023

После доработки 28.04.2023

Принята к публикации 2.05.2023

Напалков Валерий Валентинович
д-р физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН, г. Уфа
e-mail: vnap@mail.ru

Нуятов Андрей Александрович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
г. Нижний Новгород
e-mail: nuyatov1aa@rambler.ru

Ссылка на статью: В.В. Напалков (мл.), А.А. Нуятов. О гильбертовых пространствах последовательностей, образованных значениями функций из пространства Баргмана — Фока // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 104-114

English

V.V. Napalkov (jr.), A.A. Nuyatov. On Hilbert spaces of sequences formed by values of functions from the Bargmann–Fock space

We study Hilbert spaces of sequences formed by values of functions from the Bargmann—Fock space $F$, which consists of entire functions whose square modulus is summable on the plane ${\mathbb C}$ with measure $d\sigma(z):= (1/\pi)e^{-|z|^2}\, dv(z)$, where $dv(z)$ is an area element:
\begin{equation*}
 \|f\|^2_F=\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\, d\sigma(z)<\infty \quad \forall f\in F.
\end{equation*}
The space $\overline F$ consists of complex conjugates of functions from $F$, and $\|\overline f\|_{\overline F}=\|f\|_{F}\,\forall f\in F$. We consider classes of countable sets $\Omega_0\subset {\mathbb C}$ of the form
\[ \Omega_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{z\in{\mathbb C}\colon \ z=a\cdot n+ib\cdot m,\ a\cdot b=\pi\  \forall n,m\in {\mathbb Z}\}, \]
where $a$ and $b$ are some fixed (depending only on the set $\Omega_0$) nonzero real numbers. The sets $\Omega_0$ are called von Neumann lattices. For a real number $k>1$, we form the set $\Omega_0^k\stackrel{\mathrm{def}}{=}k\cdot\Omega_0$. We establish that the space of sequences of complex numbers $V_k$ formed by the traces of functions from some subspace $F^k$ of the space $F$ on the set $\Omega_0^k$ is equivalent to the space of sequences of complex numbers $U_k$ formed by the traces of functions from a subspace $\overline F^k$ of the space $\overline F$ on the set $\Omega_0^k$. The spaces $\overline F^k$ and $\overline F$ consist of complex conjugates of the functions from the spaces $F^k$ and $F$, respectively. Moreover, the norms in the spaces $V_k$ and $U_k$ are induced by the norms of the spaces $F^k$ and $\overline F^k$. To derive the main results of the paper, we use the result of K. Seip on discrete sampling sets of the Bargmann—Fock space. The results of the authors related to the questions of the coincidence or equivalence of Hilbert spaces with a reproducing kernel are applied. Here the notion of consistency of two complete systems of functions, introduced earlier by the authors, plays an important role. The paper presents counterexamples. We construct nonequivalent Hilbert spaces of complex numbers $V$ and $U$ that are the traces on some discrete subset of the complex plane of functions from $F$ that are not equivalent.

Keywords: decomposition systems similar to orthogonal ones, Hilbert space with reproducing kernel, problem of describing a dual space, Bargmann—Fock space, exponential frame, von Neumann lattice

Received March 23, 2023

Revised April 28, 2023

Accepted May 2, 2023

Valerii Valentinovich Napalkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS, Ufa, 450077 Russia, e-mail: vnap@mail.ru

Andrey Alexandrovich Nuyatov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev, 603950 Russia, e-mail: nuyatov1aa@rambler.ru

Cite this article as: V.V. Napalkov (jr.), A.A. Nuyatov. On Hilbert spaces of sequences formed by values of functions from the Bargmann–Fock space. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 104–114.

[References -> on the "English" button bottom right]