В.Е. Федоров, К.В. Бойко. Квазилинейные уравнения с секториальным набором операторов при производных Герасимова — Капуто ... С. 248-259

УДК 517.9

MSC: 35R11, 34G20, 34A08

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-248-259

Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-2708.2022.1.1).

Исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи Коши для разрешенного относительно старшей дробной производной Герасимова — Капуто квазилинейного уравнения в банаховом пространстве с замкнутыми операторами из класса Aα,Gn в линейной части и с непрерывным в норме графика нелинейным оператором. Доказана теорема о локальном существовании и единственности решения задачи Коши в случае локально липшицева нелинейного оператора. При условии его липшицевости показано существование единственного решения на наперед заданном отрезке. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач для уравнений в частных производных с производными Герасимова — Капуто по времени.

Ключевые слова: дробная производная Герасимова — Капуто, задача Коши, секториальный набор операторов, разрешающее семейство операторов, квазилинейное уравнение, локальное решение, нелокальное решение, начально-краевая задача

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

2.   Tarasov V.E. Fractional dynamics: Applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media. NY: Springer, 2011. 505 p.

3.   Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. Philadelphia: Gordon and Breach Science Publ., 1993. 976 p.

4.   Prüss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer, 1993. 366 p.

5.   Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego; Boston: Acad. Press, 1999. 340 p.

6.   Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.

7.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier Science Publ., 2006. 540 p.

8.   Kostić M. Abstract Volterra integro-differential equations. Boca Raton: CRC Press, 2015. 484 p.

9.   Федоров В.Е., Бойко К.В., Фуонг Т.Д. Начальные задачи для некоторых классов линейных эволюционных уравнений с несколькими дробными производными // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 3. С. 85–104. doi: 10.25587/SVFU.2021.75.46.006

10.   Boyko K.V., Fedorov V.E. The Cauchy problem for a class of multi-term equations with Gerasimov — Caputo derivatives // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43, no. 6. P. 1293–1302. doi: 10.1134/S1995080222090049

11.   Бойко К.В., Федоров В.Е. Обратная задача для одного класса вырожденных эволюционных уравнений с несколькими производными Герасимова — Капуто // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзоры. 2022. Т. 213. С. 38–46.
doi: 10.36535/0233-6723-2022-213-38-46

12.   Федоров В.Е., Туров М.М. Дефект задачи типа Коши для линейных уравнений с несколькими производными Римана — Лиувилля // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 5. С. 1143–1162. doi: 10.33048/smzh.2021.62.514

13.   Туров М.М. Квазилинейные уравнения с несколькими производными Римана — Лиувилля произвольных порядков // Челяб. физ.-мат. журн. 2022. Т. 7, вып. 4. C. 434–446.

14.   Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12, № 3. С. 251–260.

15.   Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 1967. Vol. 13, no. 5. P. 529–539. doi: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x

16.   Novozhenova O.G. Life and science of Alexey Gerasimov, one of the pioneers of fractional calculus in Soviet Union // Frac. Calcul. Appl. Anal. 2017. Vol. 20, no. 3. P. 790–809. doi: 10.1515/fca-2017-0040

17.   Bajlekova E.G. Fractional evolution equations in banach spaces. PhD thesis. Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2001. 107 p.

18.   Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 c.

19.   Plekhanova M.V., Baybulatova G.D. Semilinear equations in Banach spaces with lower fractional derivatives // Springer Proc. Math. Stat. 2019. Vol. 292. P. 81–93. doi 10.1007/978-3-030-26987-6_6

20.   Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 c.

Поступила 28.02.2023

После доработки 15.03.2023

Принята к публикации 20.03.2023

Федоров Владимир Евгеньевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математического анализа
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: kar@csu.ru

Бойко Ксения Владимировна
аспирант
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: kvboyko@mail.ru

Ссылка на статью: В.Е. Федоров, К.В. Бойко. Квазилинейные уравнения с секториальным набором операторов при производных Герасимова — Капуто // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 248-259

English

V.E. Fedorov, K.V. Boyko. Quasilinear equations with a sectorial set of operators at Gerasimov–Caputo derivatives

The issues of unique solvability of the Cauchy problem are studied for a quasilinear equation solved with respect to the highest fractional Gerasimov–Caputo derivative in a Banach space with closed operators from the class Aα,Gn in the linear part and with a nonlinear operator continuous in the graph norm. A theorem on the local existence and uniqueness of a solution to the Cauchy problem is proved in the case of a locally Lipschitz nonlinear operator. Under the nonlocal Lipschitz condition for the nonlinear operator, the existence of a unique solution on a predetermined interval is shown. Abstract results are illustrated by examples of initial–boundary value problems for partial differential equations with Gerasimov–Caputo time derivatives.

Keywords: Gerasimov–Caputo fractional derivative, Cauchy problem, sectorial set of operators, resolving family of operators, quasilinear equation, local solution, nonlocal solution, initial–boundary value problem

Received February 28, 2023

Revised March 15, 2023

Accepted March 20, 2023

Funding Agency: This work was supported by the RF President’s Grant for State Support of Leading Scientific Schools (project no. 2708.2022.1.1).

Vladimir Evgenyevich Fedorov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelya-binsk, 454001 Russia, e-mail: kar@csu.ru

Kseniya Vladimirovna Boyko, doctoral student, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: kvboyko@mail.ru

Cite this article as: V.E. Fedorov, K.V. Boyko. Quasilinear equations with a sectorial set of operators at Gerasimov–Caputo derivatives. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 248–259.

[References -> on the "English" button bottom right]