О.Н. Ульянов, Л.И. Рубина. О некоторых классах свободноконвективных движений ... С. 189-206

УДК 517.957+517.958:532.5

MSC: 35C05, 35C99, 35N99, 35Q35, 76R10

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-189-206

Рассматривается система уравнений нестационарной пространственной естественной конвекции несжимаемой вязкой жидкости в приближении Буссинеска. Авторы применяют ранее предложенные ими методы редукции линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) и систем УЧП к уравнениям и системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В работе описаны общие принципы подходов, развиваемых авторами. Методы основаны на построении системы уравнений характеристик для некоторого базового уравнения  в частных производных первого порядка. Базовое уравнение определенным образом конструируется при анализе исходной системы уравнений. Редукции приводят к ОДУ и системам ОДУ, в которых независимая переменная $\psi$, такова, что уравнение $\psi(x,y,z,t)=\mathrm{const}$ задает поверхность уровня для некоторых неизвестных функций исходной системы УЧП. Методы применимы к УЧП и системам УЧП  независимо от их типа. Получена редукция уравнений Обербека — Буссинеска к системе ОДУ, имеющей функциональный произвол. Найдено точное решение исходной системы, имеющее константный произвол. Функциональный произвол в построенной редукции позволил также получить систему ОДУ, в которой независимой переменной является температура $T$. Для этой системы также найдены точные решения. В работе  проведен анализ возможного движения несжимаемой вязкой жидкости (вихревое или безвихревое) при естественной конвекции. Выделены случаи, когда движение  жидкости является вихревым и случаи, когда осуществляется безвихревое движение. Для исходной системы УЧП в результате редукции выписано точное решение, определяющее безвихревое движение жидкости.

Ключевые слова: естественная конвекция вязкой жидкости, уравнения Обербека — Буссинеска, системы дифференциальных уравнений с частными производными, редукции, точные решения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Сидоров А.Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Численные и аналитические решения задач механики сплошной среды: сб. статей / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1981. С. 101–117.

2.   Сидоров А.Ф. Аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной естественной конвекции (обз. доклад) // Шестая Всесоюзная школа-семинар по моделям механики сплошных сред. Алма-Ата, Новосибирск, 1981. С. 236–250.

3.   Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Применение полиномов Бернштейна для приближенного решения задачи естественной конвекции в горизонтальном слое // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды: сб. статей / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С. 52–63.

4.   Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикладная механика и техническая физика. 1989. T. 2. C. 34–40.

5.   Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Расчет гексагональной конвекции в ячейках Бенара с помощью специальных тригонометрических рядов // Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды: cб. науч. тр. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1992. С. 35–50.

6.   Boussinesq J. Theorie analitique de la chaleur. Vol. 2. Paris: GauthierVillars, 1903. 625 p.

7.   Oberbeck A. Ueber die Wärmeleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Strömungen in Folge von Temperaturdifferenzen // Annalen der Physik. 1879. Vol. 243, iss. 6. P. 271–292. doi: 10.1002/andp.18792430606

8.   Andreev V.K., Gaponenko Y.A., Goncharova O.N., Pukhnachev V.V. Mathematical models of convection. Berlin; Boston: De Gruyter, 2012. 417 p. doi: 10.1515/9783110258592

9.   Mayeli P., Sheard G.J. Buoyancy-driven flows beyond the Boussinesq approximation: a brief review // Int. Commun. Heat and Mass Transfer. 2021. Vol. 125, article no. 105316. doi: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2021.105316

10.   Lappa M. Incompressible flows and the Boussinesq approximation: 50 years of CFD // Comptes Rendus. Mecanique. 2022. Vol. 350. P. 1–22. doi: 10.5802/crmeca.134

11.   Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

12.   Pukhnachev V.V. Group-theoretical methods in convection theory // AIP Conf. Proc. 2011. Vol. 1404. P. 27–38. doi: 10.1063/1.3659901

13.   Sidorov A.F., Shapeev V.P., Yanenko N.N. Method of differential relations and its application in gas dynamics. Novosibirsk: Nauka Publ., 1984. 272 c.

14.   Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гос.изд-во техн.-теорет. лит., 1952. 256 с.

15.   Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1966. № 3. С. 69–72.

16.   Andreev V.K., Stepanova I.V. Ostroumov–Birikh solution of convection equations with nonlinear buoyancy force // Appl. Math. Comp. 2014. Vol. 228. P. 59–67. doi: 10.1016/j.amc.2013.11.002

17.   Barna I.F., Matyas L. Analytic self-similar solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations // Chaos, Solitons and Fractals. 2015. Vol. 78. P. 249–255. doi:10.1016/j.chaos.2015.08.002

18.    Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Y. Exact solutions to the Oberbeck–Boussinesq equations for shear flows of a viscous binary fluid with allowance made for the Soret effect // Izv. Irkutskogo Gos. Univ. Ser. Matematika. 2021. Т. 37. С. 17–30. doi: 10.26516/1997-7670.2021.37.17

19.   Rubina L.I., Ul’yanov O.N. One method for solving systems of nonlinear partial differential equations // Proc. Steklov Inst. Math. 2015. Vol. 288, suppl. 1. P. 180–188. doi: 10.1134/S0081543815020182

20.   Ульянов О.Н., Рубина Л.И. О редукции одной системы уравнений магнитной газодинамики к системам обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. НИЯУ МИФИ. 2022. Т. 11, № 2. С. 122–132. doi: 10.56304/S2304487X22020122

21.   Clarkson P.A., Ludlow D.K., Priestley T.J. The classical, direct, and nonclassical methods for symmetry reductions of nonlinear partial differential equations // Methods and Appl. of Anal. 1997. Vol. 4, no. 2. P. 173–195. doi: 10.4310/MAA.1997.v4.n2.a7

22.   Полянин А.Д. Редукции и новые точные решения уравнений конвективного тепло- и массопереноса с нелинейным источником // Вестник НИЯУ МИФИ. 2018. Том 7, № 6. С. 458–469. doi: 10.1134/S2304487X18060093

23.   Курант Р., Гилберт Д. Методы математической физики: Уравнения в частных производных. М.: Мир, 1964. 831 с.

24.   Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.

Поступила 7.03.2023

После доработки 24.04.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Ульянов Олег Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: uon@imm.uran.ru

Рубина Людмила Ильинична
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: rli@imm.uran.ru

Ссылка на статью: О.Н. Ульянов, Л.И. Рубина. О некоторых классах свободноконвективных движений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 189-206

English

O.N. Ul’yanov, L.I. Rubina. On some classes of free convection motions

A system of equations of unsteady spatial free convection of an incompressible viscous fluid in the Boussinesq approximation is considered. The analysis is based on the methods of reduction of linear and nonlinear partial differential equations (PDEs) and systems of PDEs to ordinary differential equations (ODEs) and systems of ODEs. These methods were proposed by the authors earlier, and their general principles are given in the paper. The methods are based on the construction of a system of equations of characteristics for a first-order PDE (the basic equation). This equation is constructed in a certain way by analyzing the original system of equations. The reductions lead to ODEs or systems of ODEs in which an independent variable $\psi$ is such that the equation $\psi(x,y,z,t)=\mathrm{const}$ defines a level surface for all unknown functions of the original system of PDEs. The methods are applicable to PDEs and systems of PDEs regardless of their type. The Oberbeck–Boussinesq equations are reduced to a system of ODEs with a functional arbitrariness, and an exact solution with a constant arbitrariness is found for the original system. The functional arbitrariness in the constructed reduction also yielded a system of ODEs in which the temperature $T$ is an independent variable. For this system exact solutions are found. A possible (vortex or vortex-free) motion of an incompressible fluid with free convection is analyzed. The cases of vortex and vortex-free motion of the fluid are identified. An exact solution defining a vortex-free motion of the fluid is written as a result of reductions for the original system of PDEs.

Keywords: free convection of viscous fluid, Oberbeck–Boussinesq equations, partial differential equations, reductions, exact solutions

Received March 7, 2023

Revised April 24, 2023

Accepted May 15, 2023

Oleg Nikolaevich Ulyanov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: uon@imm.uran.ru

Lyudmila Ilyinichna Rubina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: rli@imm.uran.ru

Cite this article as: O.N. Ul’yanov, L.I. Rubina. On some classes of free convection motions. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 189–206.

[References -> on the "English" button bottom right]