А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Исследование новых методов локализации линий разрыва на расширенных классах корректности ... С. 10-22

УДК 517.988.68

MSC: 65J22, 68U10

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-10-22

Рассматривается некорректно поставленная задача определения положения линий разрыва функции двух переменных. Предполагается, что вне линий разрыва функция гладкая, а на линии имеет разрыв первого рода. В каждом узле равномерной сетки с шагом $\tau$ известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$ от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2)$. Уровень возмущения $\delta$ считается известным. Ранее авторы исследовали (получили оценки точности) глобальные дискретные регуляризирующие алгоритмы аппроксимации множества линий разрыва зашумленной функции при условии, что линия разрыва точной функции удовлетворяет локальному условию Липшица. В настоящей работе введено одностороннее условие Липшица, и формулируется новый, более широкий, класс корректности. Построены новые методы локализации линий разрыва, которые работоспособны на расширенном классе функций.  Доказана теорема сходимости, получены оценки точности аппроксимации и других важных характеристик алгоритмов. Показано, что новые методы гарантированно определяют положение линий разрыва в то время, когда стандартные методы не работают.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линия разрыва, глобальная локализация, условие Липшица

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

2.   Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.

3.   Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

4.   Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. Изд. 3-е испр. и доп. М.: Техносфера, 2012. 1104 с.

5.   Mafi M., Rajaei H., Cabrerizo M., Adjouadi M. A robust edge detection approach un the presence of high impulse noise intensity through switching adaptive median and fixed weighted mean filtering // IEEE Trans. on image processing. 2018. Vol. 27, no. 11. P. 5475–5489. doi: 10.1109/TIP.2018.2857448

6.   Mozerov M., van de Weijer J. Improved recursive geodesic distance computation for edge preserving filter // IEEE Trans. on image processing, 2017. Vol. 26, no. 8. P. 3696–3706. doi: 10.1109/TIP.2017.2705427

7.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1(49). С. 3–13.

8.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. К вопросу о глобальной локализации линий разрыва функции двух переменных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 12–23. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-12-23

9.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Новые оценки точности методов локализации линий разрыва зашумленной функции // Сиб. журнал вычисл. математики. 2020. Т. 23, № 4. С. 351–364. doi: 10.15372/SJNM20200401

10.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 1. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 608 с.

Поступила 17.04.2023

После доработки 28.04.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru

Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук,
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Исследование новых методов локализации линий разрыва на расширенных классах корректности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т.29, № 2. С. 10-22

English

A.L. Ageev, T.V. Antonova. A study of new methods for localizing discontinuity lines on extended correctness classes

We consider the ill-posed problem of finding the position of the discontinuity lines of a function of two variables. It is assumed that the function is smooth outside the lines of discontinuity, but has a discontinuity of the first kind on the line. At each node of a uniform grid with step $\tau$, the mean values on a square with side $\tau$ of the perturbed function are known. The perturbed function approximates the exact function in the space $L_2(\mathbb{R}^2)$. The perturbation level $\delta$ is assumed to be known. Previously, the authors investigated (accuracy estimates were obtained) global discrete regularizing algorithms for approximating the set of lines of discontinuity of a noisy function, provided that the line of discontinuity of the exact function satisfies the local Lipschitz condition. In this paper, we introduce a one-sided Lipschitz condition and formulate a new, wider correctness class. New methods for localizing discontinuity lines are constructed that work on an extended class of functions. A convergence theorem is proved, and estimates of the approximation error and other important characteristics of the algorithms are obtained. It is shown that the new methods determine the position of the discontinuity lines with guarantee in situations where the standard methods do not work.

Keywords: ill-posed problems, regularization method, discontinuity line, global localization, discretization, Lipschitz condition

Received April 17, 2023

Revised April 28, 2023

Accepted May 15, 2023

Alexander Leonidivich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru

Tatiana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. A study of new methods for localizing discontinuity lines on extended correctness classes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 10–22.

[References -> on the "English" button bottom right]