УДК 517.958
MSC: 35B27, 74F10, 74S25, 76M22
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-250-261
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена по теме государственного задания (номер госрегистрации АААА-А20-120011690138-6) .
В работе исследуется спектр одномерных собственных колебаний вдоль оси $Ox_1$ двухфазных слоистых сред с периодической структурой, занимающих полосу $0<x_1<L$. Их периодом является полоса $0<x_1<\varepsilon$, содержащая $2M$ чередующихся слоев изотропного упругого или вязкоупругого материала (первой фазы) и вязкой несжимаемой жидкости (второй фазы). Предполагается, что число периодов $N=L/ \varepsilon$ — целое число, а слои параллельны плоскости $Ox_2 x_3$. Указанный спектр обозначается через $S_\varepsilon$ и определяется как множество собственных значений краевой задачи для однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с условиями сопряжения на границах раздела твердых и жидких слоев. Эти условия непосредственно выводятся из исходного предположения о непрерывности перемещений и нормальных напряжений на границах раздела слоев. Показано, что спектр $S_\varepsilon$ состоит из корней трансцендентных уравнений, число которых равно числу периодов $N$, содержащихся внутри полосы $0<x_1<L$. За исключением одного частного случая, корни этих уравнений могут быть найдены только численно. Для многослойных сред при $N\gg 1$ в качестве начальных приближений к точкам спектра $S_\varepsilon$ предложено использовать конечные пределы последовательностей $\lambda(\varepsilon)\in S_\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0$. Установлено, что множество всех конечных пределов совпадает с множеством корней рациональных уравнений, обозначаемым через $S$. Коэффициенты этих уравнений, а значит, и точки множества $S$ зависят от объемной доли жидкости в слоистой среде и не зависят от числа $M$ жидких слоев внутри периода. Доказано, что при любом $M\geq 1$ спектр $S_\varepsilon$ сходится по Хаусдорфу к множеству $S$ при $\varepsilon\to 0$.
Ключевые слова: спектр собственных колебаний, слоистая среда, двухфазная среда, упругий материал, вязкоупругий материал, вязкая несжимаемая жидкость
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.
2. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 7. С. 31–72.
3. Жиков В.В. О лакунах в спектре некоторых дивергентных эллиптических операторов с периодическими коэффициентами // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, вып. 5. С. 34–58.
4. Babych N.O., Kamotski I.V., Smyshlyaev V.P. Homogenization of spectral problems in bounded domains with doubly high contrasts // Netw. Heterog. Media. 2008. Vol. 3, no. 3. P. 413–436. doi: 10.3934/nhm.2008.3.413
5. Космодемьянский Д.А., Шамаев А.С. Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. № 6. С. 75–114.
6. Vlasov V.V., Gavrikov A.A., Ivanov S.A., Knyaz’kov D. Yu., Samarin V.A., Shamaev A.S. Spectral properties of combined media // J. Math. Sci. 2010. Vol. 164, № 6. P. 948–963. doi: 10.1007/s10958-010-9776-5
7. Cooper S. Homogenisation and spectral convergence of a periodic elastic composite with weakly compressible inclusions // Applicable Analysis. 2014. Vol. 93, no. 7. P. 1401–1430. doi: 10.1080/00036811.2013.833327
8. Cherednichenko K.D., Cooper S., Guenneau S. Spectral analysis of one-dimensional high-contrast elliptic problems with periodic coefficients // Multiscale Model. Simul. 2015. Vol. 13, no. 1. P. 72–98. doi: 10.1137/130947106
9. Leugering G., Nazarov S.A., Taskinen J. The band-gap structure of the spectrum in a periodic medium of masonry type // Netw. Heterog. Media. 2020. Vol. 15, no. 4. P. 555–580. doi: 10.3934/nhm.2020014
10. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Инерционные и диссипативные свойства пористой среды, заполненной вязкой жидкостью // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. № 1. С. 109–119.
11. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 201 с.
12. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
13. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.
14. Шамаев А.С., Шумилова В.В. О спектре собственных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкой жидкости // Докл. РАН. 2013. Т. 448, № 1. C. 43–46.
15. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Спектр одномерных собственных колебаний слоистой среды, состоящей из упругого материала и вязкой несжимаемой жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 4. С. 53–57.
16. Шумилова В.В. Спектр собственных колебаний слоистой среды, состоящей из материала Кельвина — Фойгта и вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 21–31. doi: 10.33048/semi.2020.17.002
17. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
18. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина — Фойгта // Тр. МИАН. 2016. Т. 295. С. 218–228. doi: 10.1134/S0371968516040130
19. Власов В.В., By Дж., Кабирова Г.Р. Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием // Современная математика. Фундамент. направления. 2010. Т. 35. С. 44–59.
20. Шумилова В.В. Спектральный анализ одного класса интегро-дифференциальных уравнений теории вязкоупругости // Проблемы мат. анализа. 2013. Т. 73. С. 167–172.
Поступила 4.08.2022
После доработки 31.10.2022
Принята к публикации 7.11.2022
Шумилова Владлена Валерьевна
д-р физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
г. Москва
e-mail: v.v.shumilova@mail.ru
Ссылка на статью: В.В. Шумилова. Спектр одномерных собственных колебаний двухфазных слоистых сред с периодической структурой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 250-261
English
V.V. Shumilova. The spectrum of one-dimensional eigenoscillations of two-phase layered media with periodic structure
We study the spectrum of one-dimensional eigenoscillations along the $Ox_1$ axis of two-phase layered media with periodic structure occupying the band $0<x_1<L$. The period of the oscillations is a band $0<x_1<\varepsilon$ composed of $2M$ alternating layers of an isotropic elastic or viscoelastic material (the first phase) and a viscous incompressible fluid (the second phase). It is assumed that the number of periods $N=L/ \varepsilon$ is an integer, and the layers are parallel to the $Ox_2 x_3$ plane. The spectrum is denoted by $S_\varepsilon$ and is defined as the set of eigenvalues of a boundary value problem for a homogeneous system of ordinary differential equations with conjugation conditions at the interfaces between the solid and fluid layers. These conditions are derived directly from the initial assumption on the continuity of displacements and normal stresses at the interfaces between the layers. It is shown that the spectrum $S_\varepsilon$ consists of the roots of transcendental equations, the number of which is equal to the number of periods $N$ contained within the band $0<x_1<L$. The roots of these equations can only be found numerically, except for one particular case. In the case of multi-layered media with $N\gg 1$, the finite limits of the sequences $\lambda(\varepsilon)\in S_\varepsilon$ as $\varepsilon\to 0$ are proposed to be used as initial approximations. It is established that the set of all finite limits coincides with the set of roots of rational equations, denoted by $S$. The coefficients of these equations, and hence the points of the set $S$ depend on the volume fraction of the fluid within the layered medium and do not depend on the number $M$ of the fluid layers within the period. It is proved that for any $M\geq 1$ the spectrum $S_\varepsilon$ converges in the sense of Hausdorff to the set $S$ as $\varepsilon\to 0$.
Keywords: spectrum of eigenoscillations, layered medium, two-phase medium, elastic material, viscoelastic material, viscous incompressible fluid
Received August 4, 2022
Revised October 31, 2022
Accepted November 7, 2022
Funding Agency: This study was carried out according a state assignment (state registration no. AAAA-А20-120011690138-6).
Vladlena Valerievna Shumilova, Dr. Phys.-Math. Sci., Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 119526 Russia, e-mail: v.v.shumilova@mail.ru
Cite this article as: V.V. Shumilova. The spectrum of one-dimensional eigenoscillations of two-phase layered media with periodic structure. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 250–261.
[References -> on the "English" button bottom right]
