# Bálint Farkas, Béla Nagy and Szilárd Gy. Révész. Intertwining of maxima of sum of translates functions with nonsingular kernels ... P. 262-272

MSC: 26A51, 41A50

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-262-272

Полный текст статьи (Full text)

In previous papers we investigated so-called sum of translates functions $F(\mathbf x,t):=J(t)+\sum_{j=1}^n \nu_j K(t-x_j)$, where $J:[0,1]\to \underline{\mathbb R}:=\mathbb R\cup\{-\infty\}$ is a "sufficiently nondegenerate" and upper-bounded "field function", and $K:[-1,1]\to \underline{\mathbb R}$ is a fixed "kernel function", concave both on $(-1,0)$ and $(0,1)$, and also satisfying the singularity condition $K(0)=\lim_{t\to 0} K(t)=-\infty$. For node systems $\mathbf x:=(x_1,\ldots,x_n)$ with $x_0:=0\le x_1\le\dots\le x_n\le 1=:x_{n+1}$, we analyzed the behavior of the local maxima vector $\mathbf m:=(m_0,m_1,\ldots,m_n)$, where $m_j:=m_j(\mathbf x):=\sup_{x_j\le t\le x_{j+1}} F(\mathbf x,t)$. Among other results we proved a strong intertwining property: if the kernel is decreasing on $(-1,0)$ and increasing on $(0,1)$, and the field function is upper semicontinuous, then for any two different node systems there are $i,j$ such that $m_i(\mathbf x)<m_i(\mathbf y)$ and $m_j(\mathbf x)>m_j(\mathbf y)$. Here we partially succeed to extend this even to nonsingular kernels.

Keywords: minimax problems, kernel function, sum of translates function, vector of local maxima, equioscillation, intertwining of interval maxima

REFERENCES

1.   Bojanov B. A generalization of Chebyshev polynomials. J. Approx. Theory, 1979, vol. 26, no. 4, pp. 293–300. doi: 10.1016/0021-9045(79)90066-2

2.   Bojanov B. A generalization of Chebyshev polynomials. II. Pliska Stud. Math. Bulgar., 1983, vol. 5, pp. 93–96.

3.   Farkas B., Nagy B., and Révész Sz.Gy. Fenton type minimax problems for sum of translates functions, preprint, arXiv:2210.04348, 2022, 27 p. Available on: https://arxiv.org/pdf/2210.04348.pdf

4.   Farkas B., Nagy B., and Révész Sz.Gy. A homeomorphism theorem for sums of translates, preprint, arXiv:2112.11029, 2022, 42 p. Available on: https://arxiv.org/pdf/2112.11029.pdf

5.   Farkas B., Nagy B., and Révész Sz.Gy. On the weighted Bojanov-Chebyshev problem and the sum of translates method of Fenton, preprint, arXiv:2112.10169, 2022, 33 p. Available on: https://arxiv.org/pdf/2112.10169.pdf

6.   Farkas B., Nagy B., and Révész Sz.Gy. A minimax problem for sums of translates on the torus. Trans. London Math. Soc., 2018, vol. 5, pp. 1–46. doi: 10.1112/tlm3.12010

7.   Fenton P.C. A min-max theorem for sums of translates of a function. J. Math. Anal. Appl., 2000, vol. 244, no. 1, pp. 214–222. doi: 10.1006/jmaa.1999.6702

8.   Shi Y.G. A minimax problem admitting the equioscillation characterization of Bernstein and Erdős. J. Approx. Theory, 1998, vol. 92, no. 3, pp. 463–471. doi: 10.1006/jath.1997.3135

Revised October 17, 2022

Accepted October 24, 2022

Bálint Farkas, School of Mathematics and Natural Sciences, University of Wuppertal, Gaußstraße 20, 42119 Wuppertal, Germany, e-mail: farkas@math.uni-wuppertal.de

Béla Nagy, Department of Analysis, Bolyai Institute, University of Szeged, Aradi vértanúk tere 1, 6720 Szeged, Hungary, e-mail: nbela@math.u-szeged.hu

Szilárd Gy. Révész, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Reáltanoda utca 13-15, 1053 Budapest, Hungary, e-mail: revesz.szilard@renyi.hu

Cite this article as: Bálint Farkas, Béla Nagy and Szilárd Gy. Révész. Intertwining of maxima of sum of translates functions with nonsingular kernels. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 262–272.

Русский

Б. Фаркаш, Б. Надь, С. Ревес. Переплетение максимумов функций сумм сдвигов с несингулярными ядрами

В предыдущих статьях мы исследовали так называемую функцию суммы сдвигов $F(\mathbf x,t):=J(t)+\sum_{j=1}^n \nu_j K(t-x_j)$, где $J:[0,1]\to \underline{\mathbb R}:=\mathbb R\cup\{-\infty\}$ — "достаточно невырожденная" и ограниченная сверху "функция поля", а $K:[-1,1]\to \underline{\mathbb R}$ — фиксированная "функция ядра", вогнутая как на $(-1,0)$, так и на $(0,1)$, а также удовлетворяющая условию сингулярности $K(0)=\lim_{t\to 0} K(t)=-\infty$. Для систем узлов $\mathbf x:=(x_1,\ldots,x_n)$ с $x_0:=0\le x_1\le\dots\le x_n\le 1=:x_{n+1}$ мы проанализировали поведение вектора локальных максимумов $\mathbf m:=(m_0,m_1,\ldots,m_n)$, где $m_j:=m_j(\mathbf x):=\sup_{x_j\le t\le x_{j+1}} F(\mathbf x,t)$. Помимо других результатов, ранее мы доказали свойство сильного переплетения: если ядро  неубывающее на $(-1,0)$ и возрастающее на $(0,1)$, а функция поля является полунепрерывной сверху, то для любых двух различных систем узлов найдутся $i,j$ такие, что $m_i(\mathbf x)<m_i(\mathbf y)$ и $m_j(\mathbf x)>m_j(\mathbf y)$. В настоящей статье нам частично удалось распространить это свойство на несингулярные ядра.

Ключевые слова: минимаксные задачи, функция ядра, функция суммы сдвигов, вектор локальных максимумов, равноколебание, переплетение интервальных максимумов