УДК 517.977
MSC: 49N05, 93C70
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-280-289
Полная версия статьи
Рассматривается задача оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими ограничениями на управление $$
\left\{
\begin{array}
\dot{x}_{\varepsilon} = A_{11}x_{\varepsilon}+A_{12}y_{\varepsilon}+B_{1}u, &
t\in[0,T], &
\|u\|\leqslant 1,\\
\varepsilon\dot{y}_{\varepsilon} = A_{22}y_{\varepsilon}+B_{2}u, &
x_{\varepsilon}(0)=x^{0}, & y_{\varepsilon}(0)=y^{0},\\
J(u)\mathop{:=}\nolimits \varphi(x_{\varepsilon}(T)) +
\displaystyle\int\limits_{0}^{T}\, \|u(t)\|^2\,dt\rightarrow \min,
\end{array}
\right.
$$ где $x\in\mathbb{R}^{n}$, $y\in\mathbb{R}^{m}$, $ u\in\mathbb{R}^{r}$; $A_{ij}$, $B_{i}$, $i,j=1,2$, - постоянные матрицы соответствующей размерности, а $\varphi(\cdot)$ - непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}^{n}$ строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа. В общем случае для такой задачи принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности, и существует единственный вектор $l_\varepsilon$, определяющий оптимальное управление по формуле $$ u_\varepsilon(T-t)=\displaystyle\frac{C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon}
{S\left(\|C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon\|\right)},
$$ где $$ C_\varepsilon(t)\mathop{:=}\nolimits e^{\mathcal{A}_\varepsilon t}
\mathcal{B}_\varepsilon=e^{A_{11}t} B_1 + \varepsilon^{-1}\mathcal{W}_\varepsilon(t)B_2,
\qquad
S(\xi)\mathop{:=}\nolimits \left\{
\begin{array}{ll}
2, & 0\leqslant \xi\leqslant2,\\[1ex]
\xi, & \xi>2.
\end{array}
\right.
$$ Основное отличие статьи от предыдущих работ автора заключается в том, что терминальная часть функционала качества зависит только от медленных переменных, а управляемая система имеет более общий вид. Доказано, что в случае конечного числа точек смены вида управления можно построить асимптотику начального вектора сопряженного состояния $l_\varepsilon$, который определяет вид оптимального управления. Показано, что асимптотика имеет степенной характер.
Ключевые слова: оптимальное управление, сингулярно возмущенные задачи, асимптотические разложения, малый параметр.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.
2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 c.
3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
4. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Сер. Мат. анализ. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 20. С. 3–77.
5. Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20, no. 1. P. 111–113.
6. Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.
7. Калинин А.И., Семeнов К.В. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 3. С. 432–443.
8. Данилин А.Р., Парышева Ю. В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 2. С. 151–154.
9. Данилин А.Р., Коврижных О.О. О задаче управления точкой малой массы в среде без сопротивления // Докл. РАН. 2013. Т. 451, № 6. С. 612–614. doi: 10.7868/S086956521325004X .
10. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.
11. Shaburov A.A. Asymptotic expansion of a solution for one singularly perturbed optimal control problem in $\mathbb{R}^n$ with a convex integral quality index // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 1. P. 65–75. doi: 10.15826/umj.2017.1.005 .
12. Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.
13. Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, №12. С. 2166–2177.
Поступила 19.11.2017
Шабуров Александр Александрович
аспирант
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: alexandershaburov@mail.ru
English
A.A. Shaburov. Asymptotic expansion of a solution to a singularly perturbed optimal control problem with a convex integral performance index whose terminal part depends on slow variables only
We consider an optimal control problem with a convex integral performance index for a linear system with fast and slow variables in the class of piecewise continuous controls with smooth constraints on the control
$$\left\{\begin{array}\dot{x}_{\varepsilon}=A_{11}x_{\varepsilon}+A_{12}y_{\varepsilon}+B_{1}u, & t\in[0,T], & \|u\|\leqslant 1,\\
\varepsilon\dot{y}_{\varepsilon}=A_{22}y_{\varepsilon}+B_{2}u, & x_{\varepsilon}(0)=x^{0}, & y_{\varepsilon}(0)=y^{0},\\ J(u)\mathop{:=}\nolimits \varphi(x_{\varepsilon}(T))+\displaystyle\int\limits_{0}^{T}\,\|u(t)\|^2\,dt\rightarrow\min,\end{array}\right.
$$ where $x\in\mathbb{R}^{n}$, $y\in\mathbb{R}^{m}$, $u\in\mathbb{R}^{r}$, $A_{ij}$ and $B_{i}$ for $i,j=1,2$ are constant matrices of corresponding dimension, and the function $\varphi(\cdot)$ is continuously differentiable in $\mathbb{R}^{n}$, strictly convex, and cofinite in the sense of convex analysis.
In the general case, Pontryagin's maximum principle is applied as a necessary and sufficient optimality condition in this problem, and there exists a unique vector $l_\varepsilon$ that defines an optimal control by the formula $$u_\varepsilon(T-t)=\frac{C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon} {S\left(\|C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon\|\right)},
$$ where $$ C_\varepsilon(t)\mathop{:=}\nolimits e^{\mathcal{A}_\varepsilon t} \mathcal{B}_\varepsilon=e^{A_{11}t} B_1 + \varepsilon^{-1}\mathcal {W}_\varepsilon(t)B_2, \qquad S(\xi)\mathop{:=}\nolimits \left\{
\begin{array}{ll} 2, & 0\leqslant \xi\leqslant2,\\[1ex] \xi, & \xi>2. \end{array}\right.
$$ The main difference of this problem from the author's previous papers is that the terminal part of the performance index depends on the slow variables only and the control system has a more general form. It is proved that, in the case of a finite number of points where the type of the control is changed, a power asymptotic expansion can be constructed for the initial vector $l_\varepsilon$ of the conjugate system that defines the type of the optimal control.
Keywords: optimal control, singularly perturbed problems, asymptotic expansion, small parameter.
The paper was received by the Editorial Office on November 19, 2017.
Aleksandr Aleksandrovich Shaburov, doctoral student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: alexandershaburov@mail.ru.
[References on the English button bottom right]
