В.Т. Шевалдин. Об интегральных константах Лебега локальных сплайнов с равномерными узлами ... С. 290-297

УДК 519.65

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-290-297

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Для функции $\varphi\in C^1[-h,h]\ (h>0)$, удовлетворяющей условиям $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, $\varphi(-x)=\varphi(x)\ (x\in [0;h])$, $\varphi(x)$ не убывает на $[0;h]$, для любой функции $f\colon\mathbb R\to \mathbb R$ в работе изучаются свойства устойчивости обобщенных локальных сплайнов, построенных автором ранее, вида $$ S(x)=S(f,x)=\sum_{j\in \mathbb Z} y_j B_{\varphi}\Big( x+\frac{3h}{2}-jh\Big)\quad (x\in \mathbb R),
$$ где $y_j=f(jh)\ (j\in \mathbb Z),\ m(h)>0$ и $$ B_{\varphi}(x)=m(h)
\left\{
\begin{array}{cl}
\varphi(x), & x\in [0;h],\\[1ex]
2\varphi(h)-\varphi(x-h)-\varphi(2h-x), & x\in [h;2h],\\[1ex]
\varphi(3h-x), & x\in [2h;3h],\\[1ex]
0, & x\not\in [0;3h].
\end{array}
\right.
$$ Для таких сплайнов вычислены точно интегральные константы Лебега (нормы линейных операторов из $l$ в $L$) на оси $\mathbb R$ и на любом отрезке этой оси при определенном выборе у сплайна $S$ граничных условий и нормирующего множителя $m(h)$.

Ключевые слова: константы Лебега, локальные сплайны, граничные условия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными сплайнами. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2014. 198 с.

2.   Шевалдин В.Т., Шевалдина О.Я. Константа Лебега локальных кубических сплайнов с равноотстоящими узлами // Сиб. журн. вычисл. математики. 2017. Т. 20, № 4. С. 445–451. doi: 10.15372/SJNM20170408 .

3.   Субботин Ю.Н., Теляковский С.А. Нормы в $L$ периодических интерполяционных сплайнов с равноотстоящими узлами // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 108–117.

4.   Guin Shaohui, Liu Yongping. Asymptotic estimate for the Lebesgue constant of cardinal $\cal L$-spline interpolation operator // East J. of Approx. 2007. Vol. 13, № 3. P. 331–355.

5.   Субботин Ю.Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33, № 7. С. 996–1003.

6.   Костоусов К.В., Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 3. C. 354–363.

7.   Kostousov K.V., Shevaldin V.T. Approximation by local exponential splines // Proc. Steklov Inst. Math. 2004. Suppl. 1. P. S147–S157.

Поступила 15.02.2018

Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

English

V.T. Shevaldin. On integral Lebesgue constants of local splines with uniform knots

We study the stability properties of generalized local splines of the form $$ S(x)=S(f,x)=\sum_{j\in \mathbb Z} y_j B_{\varphi}\Big( x+\frac{3h}{2}-jh\Big)\quad (x\in \mathbb R), $$ where $\varphi\in C^1[-h,h]$ for $h>0$, $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, $\varphi(-x)=\varphi(x)$ for $x\in [0;h]$, $\varphi(x)$ is nondecreasing on $[0;h]$, $f$ is an arbitrary function from $\mathbb R$ to $\mathbb R$, $y_j=f(jh)$ for $j\in \mathbb Z$, and
$$ B_{\varphi}(x)=m(h)\left\{\begin{array}{cl} \varphi(x), & x\in [0;h],\\[1ex] 2\varphi(h)-\varphi(x-h)-\varphi(2h-x), & x\in [h;2h],\\[1ex]
\varphi(3h-x), & x\in [2h;3h],\\[1ex] 0, & x\not\in [0;3h]\end{array}\right. $$ with $m(h)>0$. Such splines were constructed by the author earlier. In the present paper we calculate the exact values of their integral Lebesgue constants (the norms of linear operators from $l$ to $L$) on the axis $\mathbb R$ and on any segment of the axis for a certain choice of the boundary conditions and the normalizing factor $m(h)$ of the spline $S$.

Keywords: Lebesgue constants, local splines, boundary conditions.

The paper was received by the Editorial Office on February 15, 2018.

Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr.Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru.