УДК 514.172.45
MSC: 52B15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-263-272
Известно, что класс правильногранных многогранников в $E^3$ с условными ребрами, который обобщает класс многогранников Джонсона, содержит, в частности, многогранники с симметричными ромбическими гранными звездами некоторых вершин; при этом ромбы звезд вершин могут быть только с острым углом 60 градусов. В настоящей работе рассматривается задача перечисления класса многогранников (так называемых $RR$-многогранников), которые помимо правильных граней содержат ромбы гранных звезд с углами не обязательно 60 градусов. Ранее автором были найдены двадцать четыре $RR$-многогранника с правильными гранями одного вида и доказана полнота списка таких многогранников. Был найден также полный список из сорока шести составных $RR$-многогранников с правильными гранями различного вида, не имеющих условных ребер и условных вершин. В настоящей работе автором продолжено изучение $RR$-мно\-гогранников: найден полный список составных $RR$-многогранников с условными ребрами. Так как $RR$-многогранник имеет и неправильные грани (ромбы), то в работе применено другое (по сравнению с определением составного правильногранного многогранника) определение составного $RR$-многогранника.
Ключевые слова: RR-многогранник, составной многогранник с условными ребрами, симметричная ромбическая вершина.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Coxeter H.S.M. Regular polytopes. NY: Dover Publ., 1973. 321 p. ISBN-10: 0486614808 .
2. Rajwade A.R. Convex polyhedra with regularity conditions and Hilbert’s third problem. Gurgaon: Hindustan Book Agency, 2001. 128 p. https://doi.org/10.1007/978-93-86279-06-4
3. Cromwell P.R. Polyhedra. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 476 p.
4. Deza М., Grishukhin V.P., Shtogrin M.I. Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: polytopes in hypercubes and Zn. London: Imperial College Press, 2004. 188 p. https://doi.org/https://doi.org/10.1142/p308 . Translated to Russian under the title Izometricheskiye poliedral’nyye podgrafy v giperkubakh i kubicheskikh reshetkakh. Moscow: MTSNMO, 2008. 192 p. ISBN: 978-5-94057-363-0 .
5. Gilson B.R. The Johnson solids and their duals: a comprehensive survey. CreateSpace Independent Publ. Platform., 2014. 446 p.
6. Piette B.M.A.G, Kowalczyk A, Heddle J.G. Characterization of near-miss connectivity-invariant homogeneous convex polyhedral cages // Proc. Royal Soc. A: Math, Phys. and Engin. Sci. 2022. Vol. 478, no. 2260. Art. no. 20210679. https://doi.org/10.1098/rspa.2021.0679
7. Jonson N.W. Convex polyhedra with regular faces. // Canad. J. Math. 1966. Vol. 18, no. 1. P. 169–200. https://doi.org/10.4153/CJM-1966-021-8
8. Залгаллер В.А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. Т. 2. С. 1–220.
9. Tupelo-Schneck R. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges [Elect. res.]. 2025. Available on: https://tupelo-schneck.org/polyhedra
10. Tupelo-Schneck R. Regular-faced polyhedra [Elect. res.]. 2025. Available on: https://tupelo-schneck.org/polyhedra/background.html
11. Subbotin V.I. On two classes of polyhedra with rhombic vertices // J. Math. Sci. 2020. Vol. 251. P. 531–538. https://doi.org/10.1007/s10958-020-05114-3
12. Subbotin V.I. On the composite RR-polyhedra of the second type // Sib. Math. J. 2023. Vol. 64, no. 2. P. 500–506. https://doi.org/10.1134/S0037446623020209
Поступила 5.11.2025
После доработки 4.12.2025
Принята к публикации 15.12.2025
Субботин Владимир Иванович
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики
Южно-Российский государственный
политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова
г. Новочеркасск
e-mail: geometry@mail.ru
Ссылка на статью: В.И. Субботин. Составные $RR$-многогранники с условными ребрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 263-272
English
Subbotin V.I. Composite RR-polytopes with conditional edges
It is known that the class of regular-faced polyhedra in $E^3$ with conditional edges, which generalizes the class of Johnson polyhedra, contains, in particular, polyhedra with symmetric rhombic face stars of some vertices; however, the rhombuses of the vertex stars can only have an acute angle of 60 degrees. In this paper, we consider a class of polyhedra (the so-called $RR$-polyhedra) that, in addition to regular faces, contain rhombic face stars with angles not necessarily equal to 60 degrees. Previously, the author found twenty-four RR-polyhedra with regular faces of the same type and proved the completeness of the list of such polyhedra. A complete list of forty-six composite $RR$-polyhedra with regular faces of various types, lacking conditional edges and conditional vertices, was also found. In this paper, the author continues the study of $RR$-polyhedra: a complete list of composite RR-polyhedra with conditional edges is found. Since the $RR$-polyhedron also has irregular faces (rhombuses), a different definition of a composite $RR$-polyhedron (compared to the definition of a composite regular-faced polyhedron) is used in this work.
Keywords: RR polyhedron, a compound polyhedron with conditional edges, a symmetric rhombic vertex
Received November 5, 2025
Revised December 4, 2025
Accepted December, 12 2025
Vladimir Ivanovich Subbotin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Platov South Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, 346400 Russia, e-mail: geometry@mail.ru
Cite this article as: Subbotin V.I. Composite RR-polytopes with conditional edges. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 263–272.
