УДК 519.6+517.53
MSC: 65N35, 65N22, 41A20, 41A21, 65F20
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-273-285
Проведено сравнение псевдоспектральных алгоритмов метода коллокации и наименьших квадратов с его Паде и полиномиальной аппроксимациями в отношении их возможностей по точности решения краевых задач для уравнений с частными производными. Для наглядности взята задача Дирихле для уравнения Пуассона. Показано, что точность первого алгоритма при умеренных величинах градиентов функций в краевых условиях близка к погрешности округлений чисел в формате Double precision, а при больших градиентах она на два десятичных порядка точнее второго алгоритма. Первый алгоритм при его реализации экономичнее по требуемой компьютерной памяти.
Ключевые слова: уравнение Пуассона, краевая задача Дирихле, метод коллокации и наименьших квадратов, Паде-аппроксимация, многоточечная аппроксимация, псевдоспектральный метод, высокая точность, обусловленность СЛАУ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вайникко Г.М. О сходимости и устойчивости метода коллокации // Дифференц. уравнения. Т. 1, № 2. С. 244–254.
2. Колобов Б.П., Коробицына Ж.Л., Плясунова А.В., Слепцов А.Г. Коллокационно-сеточный метод на подвижных сетках численного моделирования пограничных слоев // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. Т. 30, № 4. С. 521–534.
3. Ascher U., Christiansen J., Russel R.D. A collocation solver for mixed order systems of boundary value problems // Math. Comp. 1979. Vol. 33, no. 146. P. 659–679.
4. Gauss C.F. Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. H. Dieterich, 1821.
5. Гаусс К.Ф. Избранные геодезические сочинения. Т. 1. Способ наименьших квадратов / ed. Г. В. Багратуни. М.: Геодезиздат, 1957. 152 с.
6. Дж. Грей. Исторический очерк о великом математике Карле Фридрихе Гауссе. Статья на Хабр. 2017. https://habr.com/ru/articles/332966/
7. Колмогоров А.Н. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Наука, 1986. 534 с.
8. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятности. М.: Геодезиздат, 1958. 606 с.
9. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1962, 349 p.
10. Strutz T. Data Fitting and Uncertainty. A practical introduction to weighted least squares and beyond. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2016. 296 p. ISBN-10: 365811455X .
11. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.М. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
12. Grigorenko M., Berenov M.N. Solution of two-dimensional problems on the bending of rectangular plates on the basis of spline-approximation // Dokl. Akad. Nauk Ukr. RSR Ser. A. No. 8. 1987. P. 22–25.
13. Плясунова А.В., Слепцов А.Г. Коллокационно-сеточный метод решения нелинейных параболических уравнений // Моделирование в механике. 1987. Т. 1(18), № 4. С.93–108.
14. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций // Моделирование в механике. 1989. Т. 3(20), № 3. С. 132–147.
15. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций. II // Моделирование в механике, 1989. Т. 3(20), № 5. С. 118–125.
16. Carey G., Jiang B. Least-squares finite elements for first-order hyperbolic systems // Int. J. Numer. Methods Eng. 1988. Vol. 26. P. 81–93.
17. Bochev P.P., Gunzburger M.D. Least-squares finite element methods. NY: Springer, 2009. 660 p. https://doi.org/10.1007/b13382
18. Isaev V.I., Shapeev V.P. High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations // Comput. Math. Math. Phys. 2010. Vol. 50, no. 10. P. 1670–1681. https://doi.org/10.1134/S0965542510100040
19. Беляев В.А., Брыцдин Л.С., Голушко С.К., Семисалов Б.В., Шапеев В.П. Н-, р- и hp-варианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2022, Т. 62, № 4. С. 531–552. https://doi.org/10.31857/S0044466922040020
20. Беляев В.В. Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей // Вычисл. технологии. 2000. Т. 5, № 4. С. 13–21.
21. Vorozhtsov E.V., Shapeev V.P. On the efficiency of combining different methods for acceleration of iterations at the solution of PDEs by the method of collocations and least residuals // Appl. Math. Comput. 2019. Vol. 363. No. art. 124644. Р. 1–19. https://doi.org/10.1016/j.amc.2019.124644
22. Shapeev V.P., Belyaev V.A., Bryndin L.S. High accuracy numerical solution of elliptic equations with discontinuous coefficients // Bulletin of the South Ural State University, Ser.: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. 2021. Vol. 14, No. 4. Р. 88–101.
https://doi.org/10.14529/mmp210407
23. Исаев В.И., Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Численное моделирование лазерной сварки-пайки сплавов на основе титана и алюминия // Вестн. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2024. № 5(116). С. 15–32.
24. Семисалов Б.В., Бугоец И.А., Куткин Л.И., Шапеев В.П. Численный анализ потери устойчивости пуазейлевских течений полимерной жидкости под импульсным воздействием давления и температуры // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2025. Т. 65, № 2. C. 203–221.
25. Кириллов П.И., Шапеев В.П. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом коллокации и наименьших квадратов с аппроксимацией Паде // Сиб. электр. мат. изв. 2025. Т. 22, № 1. С. 54–66. https://doi.org/10.33048/semi.2025.22.005
26. Шапеев В.П., Ворожцов Е.В. Исаев В.И., Идимешев С.В. Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье — Стокса // Вычисл. математика и программирование. М: Изд-во ВЦ МГУ, 2013. Т. 14. Разд. 1. С. 306–322.
27. Baker G. A. Jr. Essentials of Pade approximants. N: Acad. Press, 1975. 318 p.
28. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде / пер. с англ. Е.А. Рахманова, С.П. Суетина; под ред. А.А. Гончара. М.: Мир, 1986. 502 с.
29. Гончар А.А., Рахманов Е.А. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для системы функций марковского типа // Тр. МИАН. 1981. Vol. 157. P. 31–48.
30. Гончар А.А., Новикова Н.Н., Хенкин Г.М. Многоточечные аппроксимации Паде в обратной задаче Штурма — Лиувилля // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 8. С. 1118–1128.
31. Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57, № 1. С. 45–142.
32. Кандаян А.А. Многоточечные аппроксимации Паде бета-функции // Мат. заметки. 2009. Т. 85, № 2. С. 189–203.
33. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита — Паде для систем Никишина и иррациональность // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 2(296). С. 167–168.
34. Tee T.W., Trefethen L.N. A rational spectral collocation method with adaptively transformed chebyshev grid points // SIAM J. Sci. Comput. 2006. Vol. 28, no. 5. P. 1798–1811.
https://doi.org/10.1137/050641296
35. Аптекарев А.И., Буслаев В.И., Мартинес-Финкельштейн А., Суетин С.П. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены // Успехи мат. наук. 2011. Т. 66, № 6. С. 37–122.
36. Prevost M. A new proof of the irrationality of and using Pade approximants // J. Comput. Appl. Math. 1996. Vol. 67, no. 2. P. 219–235.
37. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита — Паде функции Вейля и ее производной для дискретных мер // Мат. сб. 2020. Vol. 211, № 10. С. 139–156. https://doi.org/10.4213/sm8634
38. Лысов В.Г. Аппроксимации Эрмита — Паде смешанного типа для системы Никишина. Анализ и математическая физика // Тр. МИАН. 2020. Vol. 311. С. 213–227. https://doi.org/10.4213/tm4146
39. Идимешев С.В. Дробно-рациональная аппроксимация в начально-краевых задачах с фронтами // Вычисл. технологии. 2020. Т. 25, № 2. С. 63–79. https://doi.org/10.25743/ICT.2020.25.2.006
40. Величко И.Г., Ткаченко И.Г., Балабанова В.В. Применение метода цепных дробей для получения аппроксимаций Паде решений задач Коши для дифференциальных уравнений первого порядка // Вестн. науки и образования Северо-Запада России. 2015. Т. 1, № 3. С. 1–9.
41. Вишневский В.Э., Зубов А.В., Иванова О.А. Аппроксимация Паде решения задачи Коши // Вестник СПбГУ. Прикл. математика. Cер. 10. 2012. № 4. C. 3–17.
42. Shapeev V.P. Solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations using the collocation and least squares method with the Pade approximation // Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. 2023. Vol. 16, No. 4. P. 71–83. https://doi.org/10.14529/mmp230405
43. Дьяконов В.П. MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное // Библиотека профессионала. М.: СОЛОН-Пресс, 2008. 800 с.
44. Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. М.: ДМК Пресс, 2010.
45. Колмогоров А.Н. К обоснованию метода наименьших квадратов // Успехи мат. наук. 1946. Vol. 1, no. 1(11). C. 57–70.
46. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. 2-е изд., перераб. и доп., Новосибирск: ВО “Наука”, 1992. 353 с.
Поступила 17.01.2026
После доработки 26.01.2026
Принята к публикации 2.02.2026
Шапеев Василий Павлович
д-р физ.-мат. наук, доцент
старший научный сотрудник
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: v.shapeev@g.nsu.ru
Семисалов Борис Владимирович
д-р физ.-мат. наук
доцент факультета вычислительной математики и кибернетики Университета МГУ–ППИ
г. Шэньчжэнь (КНР);
старший научный сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: vibis87@gmail.com
Куткин Лев Ильич
Новосибирский государственный университет
г. Новосибирск
e-mail: l.kutkin@g.nsu.ru
English
V. P. Shapeev, B. V. Semisalov, L. I. Kutkin. Comparison of Pade and polynomial approximations for solutions of the Poisson equation.
A comparison of pseudospectral algorithms with Padе and polynomial approximations is conducted in terms of their ability to accurately solve boundary value problems for partial differential equations. For clarity, the Dirichlet problem for the Poisson equation is used. It is shown that the accuracy of the first algorithm for moderate function gradients in the boundary conditions is close to the rounding error in double precision format, while for larger gradients, it is two orders of magnitude more accurate than the second algorithm. The first algorithm is more efficient in terms of required computer memory.
Keywords: Poisson equation, Dirichlet boundary value problem, collocation and least squares method, Pade approximation, multipoint approximation, pseudospectral method, condition number of SLAE.
Received January 17, 2026
Revised January 26, 2026
Accepted February 2, 2026
Vasilii P. Shapeev, Dr. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof., Senior Researcher, Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: v.shapeev@g.nsu.ru.
Boris V. Semisalov, Dr. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof. of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of Shenzhen MSU-BIT University, Senior Researcher, Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: vibis87@gmail.com.
Lev I. Kutkin, Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: l.kutkin@g.nsu.ru.
Cite this article as: V.P.Shapeev, B.V.Semisalov, L.I.Kutkin. Comparison of polynomial and Pade approximations for solutions of the Poisson equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 273–285..
